Igusa zeta-functie

In de diofantische meetkunde is een Igusa-zetafunctie een soort genererende functie, die het aantal oplossingen van een vergelijking telt, modulo p, p ^2, p ^3, enzovoort.

Definitie

Voor een priemgetal p is K een p-adisch lichaam, d.w.z. ${\displaystyle [K:\mathbb {Q} _{p}]<\infty }$, R de valuatiering en P het maximale ideaal. Voor ${\displaystyle z\in K}$ duiden we met ${\displaystyle \operatorname {ord} (z)}$ de waardering aan van z, ${\displaystyle \mid z\mid =q^{-\operatorname {ord} (z)}}$. We hebben ook ${\displaystyle ac(z)=z\pi ^{-\operatorname {ord} (z)}}$ voor een uniformiserende parameter π van R .

Verder laten we ${\displaystyle \phi :K^{n}\to \mathbb {C} }$ een Schwartz-Bruhat-functie zijn. Dat is een lokaal constante functie met compacte ondersteuning. Laat ${\displaystyle \chi }$ een karakter zijn van ${\displaystyle R^{\times }}$.

In deze context associeert men met een niet-constante polynoom ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ de Igusa zeta-functie

${\displaystyle Z_{\phi }(s,\chi )=\int _{K^{n}}\phi (x_{1},\ldots ,x_{n})\chi (ac(f(x_{1},\ldots ,x_{n})))|f(x_{1},\ldots ,x_{n})|^{s}\,dx}$

waar ${\displaystyle s\in \mathbb {C} ,\operatorname {Re} (s)>0,}$ en dx de Haar-maat is, zo genormaliseerd dat ${\displaystyle R^{n}}$ maat 1 heeft.

Stelling van Igusa

Jun-Ichi Igusa toonde in 1974 aan dat ${\displaystyle Z_{\phi }(s,\chi )}$ een rationale functie is in ${\displaystyle t=q^{-s}}$. Het bewijs gebruikt de stelling van Hironaka over de resolutie van singulariteiten. Later werd een geheel ander bewijs gegeven door Jan Denef dat gebruik maakte van p-adische celdecompositie.

Congruenties modulo machten van P

Laat ${\displaystyle \phi }$ de karakteristieke functie zijn van ${\displaystyle R^{n}}$ en ${\displaystyle \chi }$ het triviale karakter zijn. Laat ${\displaystyle N_{i}}$ het aantal oplossingen zijn van de congruentie

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})\equiv 0\mod P^{i}}$ .

Dan is de Igusa zeta-functie

${\displaystyle Z(t)=\int _{R^{n}}|f(x_{1},\ldots ,x_{n})|^{s}\,dx}$

nauw verwant aan de Poincaré-reeks

${\displaystyle P(t)=\sum _{i=0}^{\infty }q^{-in}N_{i}t^{i}}$

door

${\displaystyle P(t)={\frac {1-tZ(t)}{1-t}}.}$

Bron

• Dit artikel of een eerdere versie ervan is een (gedeeltelijke) vertaling van het artikel Igusa zeta function op de Engelstalige Wikipedia, dat onder de licentie Creative Commons Naamsvermelding/Gelijk delen valt. Zie de bewerkingsgeschiedenis aldaar.