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数学において自己同型 （じこどうけい、英 : automorphism ）とは、数学的対象 から自分自身への同型射 のことを言う。ある解釈においては、構造を保ちながら対象をそれ自身へと写像 する方法のことで、その対象の対称性 を表わしていると言える。対象の全ての自己同型の集合は群 を成し、自己同型群 (automorphism group)と呼ばれる。大まかにいえば、自己同型は、対象の対称群 である。
自己同型の正確な定義は「数学的対象」の種類や、その対象上の「同型射」の定義によって変化する。「自己同型」という言葉が意味を持つ最も一般性の高い領域は圏論 と呼ばれる数学の抽象的な分野である。圏は、抽象的な対象(object)とそれらの対象の間の射 (morphism)を扱う。圏論においては、（圏論的な意味で）同型 でもあるような自己準同型 （つまり、対象から対象自身への射である）である。
圏論では、射は函数である必要もないし、対象は集合である必要もないので、この定義は非常に抽象的な定義である。しかし、より具体的な設定では、対象はある加法構造を持つであろうし、射はこの構造を保つであろう。
抽象代数学 の文脈では、「数学的対象」とは例えば、群 、環 、ベクトル空間 といった代数的構造である。この場合は、同型は単に全単射 な準同型 である。（準同型の定義は代数構造の種類に依存する、例えば、群準同型 、環準同型 、線型作用素 を参照。）
恒等射は自明な自己同型 (trivial automorphism)と呼ばれることもある。他の（恒等射ではない）自己同型は非自明な自己同型 (nontrivial automorphisms)と呼ばれる。
対象 X の自己同型全体が（真のクラス ではなく）集合をなす場合、この集合は写像 の合成 の下に群 をなす。この群を X の自己同型群 と呼ぶ。これが群をなすことは、以下のことから簡単に確認できる。
閉性 (Closure)：2つの自己準同型の合成は再び自己準同型となる。結合法則 (Associativity)： 射の合成は常に 結合的である。単位元 (Identity)： 対象からそれ自身への恒等写像は単位元となる。逆元 (Inverses)： 定義より、全ての同型は逆写像を持つ。その逆写像も同型であり、また自己準同型でもあるため、それは自己同型となる。圏 C の対象 X の自己同型群は、AutC (X) あるいは、圏が前後関係より明らかな場合は、単に Aut(X) と書く。
集合論 では、集合 X 上の任意の置換 は、自己同型である。X の自己同型群は、X の対称群 とも呼ばれる。初等的な算術 （英語版 ） 整数 の集合 Z は加法の下で群とみることができ、符号の反転が唯一の非自明な自己同型となる。しかし、環 と考えた場合は自明な自己同型しか持たない。一般的に、符号反転は任意のアーベル群 上の自己同型になるが、環や体ではそうならない。群の自己同型は、群からそれ自身への群同型 である。非公式に言うと、構造を変化させない群上の置換である。すべての群 G に対して、像 は内部自己同型 (inner automorphism)の群 Inn(G) となり、核 が G の中心 となるような、自然な作用をもつ準同型 G → Aut(G) が存在する。従って、G が自明 な中心を持つならば、G を G 自身の自己同型群に埋め込むことができる。[ 1] 線型代数 では、ベクトル空間 V の自己準同型が、線型変換 V → V である。自己同型は V 上の可逆な線型変換のことである。ベクトル空間が有限次元のとき、V の自己同型群は一般線型群 GL(V) と同じになる。体の自己同型は、体 から自分自身への全単射 な環準同型 である。有理数 Q と実数 R の場合には、非自明な体自己同型は存在しない。R が非自明な体自己同型を持つとすると、R の全体への拡大ができない（なぜならば、R は平方根を持つ数の性質を保たなくなるからであるからである）。複素数 C の場合は、R を R の中へ移す非自明な自己同型は複素共役 ただ一つである。しかし、（選択公理 を前提とすると、）無限個（非可算 個の）「ワイルド」な自己同型が存在する。[ 2] [ 3] 体の拡大 、特にガロア拡大 の理論で重要である。ガロア拡大 L/K の場合には、K を各元ごとに固定する L の自己同型全体の部分群 を拡大のガロア群 と呼ぶ。
p-進数の体 Q p は非自明な自己同型を持たない。
グラフ理論 では、グラフの自己同型 （英語版 ） 関係性の自己同型については、自己同型を保存する関係 （英語版 ）
幾何学 では、自己同型は空間の動き （英語版 ） 計量幾何学 （英語版 ） 等長写像 を意味する。自己同型群は等長群 （英語版 ） リーマン面 のカテゴリでは、自己同型は、あるリーマン面から自分自身への全単射な双正則 (biholomorphic)写像をいう（共形写像 とも言う）。 例えば、リーマン球面 の自己同型はメビウス変換 である。微分可能多様体 M の自己同型は、M からそれ自身への微分同相写像 である。自己同型群は Diff(M) と書く。
トポロジー では、位相空間 の間の準同型は、連続写像 であり、位相空間の自己同型群は、空間から自分自身への同相 群である（同相群 （英語版 ） 充分ではない ことを示している。
群の自己同型の最初期における例は、1856年にアイルランドの数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトン により与えられた。彼は著書「icosian calculus 」の中で、位数 2 の自己同型を発見し、次のように書いている。[ 4]
従って、
μ
{\displaystyle \mu }
λ
{\displaystyle \lambda }
ある種の圏、特に群 、環 、リー代数 では、自己同型を「内部自己同型」と「外部自己同型」の 2種類に分けることができる。
群の場合、内部自己同型 (inner automorphism)は、その群の元による共役作用である。群 G の各元 a に対し、a による共役とは
φ
a
(
g
)
=
a
g
a
−
1
{\displaystyle \varphi _{a}(g)=aga^{-1}}
−1 ga 、使い道により異なる）により与えられる作用 φa : G → G のことである。a による共役が群の自己同型であることは容易に分かる。内部自己同型全体は Aut(G) の正規部分群 を成し、これを Inn(G) で表す。これをグルサの補題 （英語版 ）
これ以外の自己同型を外部自己同型 （英語版 ） 商群 Aut(G) / Inn(G) を普通、Out(G) で表す。この群の非自明な元は、外部自己同型を含む剰余類 である。
a が可逆元 であれば、任意の単位元を持つ環 や体上の代数 においても同様の定義が成り立つ。リー代数 に対しては、定義は少し異なる。
^
PJ Pahl, R Damrath (2001). “§7.5.5 Automorphisms” . Mathematical foundations of computational engineering (Felix Pahl translation ed.). Springer. p. 376. ISBN 3-540-67995-2 . https://books.google.co.jp/books?id=kvoaoWOfqd8C&pg=PA376&redir_esc=y&hl=ja
^ Yale, Paul B. (May 1966). “Automorphisms of the Complex Numbers” . Mathematics Magazine 39 (3): 135–141. doi :10.2307/2689301 . JSTOR 2689301 . http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/PaulBYale.pdf . ^ Lounesto, Pertti (2001), Clifford Algebras and Spinors (2nd ed.), Cambridge University Press, pp. 22–23, ISBN 0-521-00551-5 ^ Sir William Rowan Hamilton (1856). “Memorandum respecting a new System of Roots of Unity” . Philosophical Magazine 12 : 446. http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Icosian/NewSys.pdf .
