素因数 (そいんすう、英 : prime factor )とは、数学 における自然数 の約数 になる素数 のことである。ある数の素因数を求めてその積の形で表すことを素因数分解 という。例えば 60 は 22 ×3×5 と素因数分解されるので 60 の相異なる素因数は 2, 3, 5 の3つである。また 7 は素数であるため、7 の素因数は 7 自身のみとなる。素因数のことを素因子 (そいんし)、素因数分解のことを素因子分解ということもある。
2つの自然数が互いに素 であることと、2つの自然数が共通の素因数を持たないことは同値 である。なお 1 は素因数を持たない数であり、したがって 1 は全ての(1 自身を含めた)自然数と互いに素である。
自然数の素因数分解の結果は、素因数を掛ける順番の違いを除けば一意的に決まる。この事実は算術の基本定理 と呼ばれている。
素因数の個数
自然数 n の相異なる素因数の個数 を与える関数 を ω (n ) と表記し、n の重複も含めた素因数の総数 を与える関数を Ω(n ) と表記する。n が
n
=
∏ ∏ -->
i
=
1
k
p
i
α α -->
i
=
p
1
α α -->
1
p
2
α α -->
2
⋯ ⋯ -->
p
k
α α -->
k
{\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\dotsm p_{k}^{\alpha _{k}}}
(ただし p 1 , p 2 , ..., p k は相異なる素数、α 1 , ..., α k は 1 以上の整数) と素因数分解されるとき、
ω ω -->
(
n
)
=
k
,
{\displaystyle \omega (n)=k,}
Ω Ω -->
(
n
)
=
∑ ∑ -->
i
=
1
k
α α -->
i
=
α α -->
1
+
⋯ ⋯ -->
+
α α -->
k
{\displaystyle \Omega (n)=\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}=\alpha _{1}+\dotsb +\alpha _{k}}
である。例えば、60 = 22 ・3・5 であるから、ω (60) = 3 , Ω(60) = 2 + 1 + 1 = 4 である。
素因数は 2 以上であるから
Ω Ω -->
(
n
)
≤ ≤ -->
log
-->
n
/
log
-->
2
{\displaystyle \Omega (n)\leq \log n/\log 2}
が任意の n に対して成り立ち、等号はちょうど n が2の冪乗 であるときに成り立つ。
また、ω (n ) の増加の割合は以下の式で表される。
lim sup
n
→ → -->
∞ ∞ -->
ω ω -->
(
n
)
log
-->
log
-->
n
log
-->
n
=
1.
{\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\omega (n)\log \log n}{\log n}}=1.}
より厳密には、以下の式が成り立つ。
ω ω -->
(
n
)
≤ ≤ -->
1.38402
log
-->
n
log
-->
log
-->
n
(
n
≥ ≥ -->
3
)
,
ω ω -->
(
n
)
≤ ≤ -->
log
-->
n
log
-->
log
-->
n
+
1.45743
log
-->
n
(
log
-->
log
-->
n
)
2
(
n
≥ ≥ -->
3
)
,
ω ω -->
(
n
)
≤ ≤ -->
log
-->
n
log
-->
log
-->
n
− − -->
1.1714
(
n
≥ ≥ -->
26
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\omega (n)&\leq 1.38402\,{\frac {\log n}{\log \log n}}&(n\geq 3),\\\omega (n)&\leq {\frac {\log n}{\log \log n}}+1.45743\,{\frac {\log n}{(\log \log n)^{2}}}&(n\geq 3),\\\omega (n)&\leq {\frac {\log n}{\log \log n-1.1714}}&(n\geq 26).\end{aligned}}}
自然数における具体的な ω(n ) の値についてはオンライン整数列大辞典 の数列 A001221 を、 Ω(n ) の値はオンライン整数列大辞典 の数列 A001222 を参照。
最大素因数
最大素因数(さいだいそいんすう、英: largest prime factor)とは、その数における最大の素因数になる素数のことである。その数が素数の場合はその数自身が最大素因数となる。
最小素因数
最小素因数(さいしょうそいんすう、英: smallest prime factor)とは、その数における最小の素因数になる素数のことである。その数が素数の場合はその数自身が最小素因数となる。
関連する数
スミス数 とは、合成数であって、その素因数の数字の和と各桁の数字の和が等しい数のことである。
ルース=アーロン・ペア とは、連続する自然数の組であって、それぞれの素因数の和が互いに等しくなる2つの数の組のことである。
2以上の自然数における素因数の和は 2, 3, 2, 5, 5, 7, 2, 3, 7, … である。(オンライン整数列大辞典 の数列 A008472 )
2以上の自然数における素因数の積は 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, … である。(オンライン整数列大辞典 の数列 A007947 )
脚注
参考文献
Robin, Guy (1983). “Estimation de la fonction de Tchebychef θ sur le k -ième nombre premier et grandes valeurs de la fonction ω (n ) nombre de diviseurs premiers de n ”. Acta Arith. 42 : 367–389.
関連項目
被整除性に基づいた整数の集合
概要 因数分解による分類 約数和による分類 約数が多いもの アリコット数列 関連位取り記法 に基づくものその他