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幾何学において、等長共役^[1]（とうちょうきょうやく、英: isotomic conjugate）は、 $△ ABC$ と点 $P$ について定義される点の一つとの関係である^[2]^[3]^[4]。等距離共役、等線分共役、等截共役とも訳される^[5]^[6]^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]^[12]。

定義

$△ ABC$ と、その辺上にない点 $P$ について、 $A', B', C'$ をそれぞれ、直線 $AP, BP, CP$ と $BC, CA, AB$ の交点とする。次に $A', B', C'$ を辺 $BC, CA, AB$ の中点で鏡映した点を、それぞれ $A", B", C"$ とする。このとき $AA", BB", CC"$ を等長共役線（isotomic lines）または等距離線と言う。3つの等長共役線はチェバの定理より一点で交わる。その点を $P$ の等長共役点または等截点^[6]、もしくは単に等長共役といい、 $P$ とその等長共役点との関係を等長共役と言う。

座標

$P$ の三線座標を $p : q : r$ とすると、 $P$ の等長共役点の三線座標は以下の式で与えられる。

a^{-2}p^{-1}:b^{-2}q^{-1}:c^{-2}r^{-1},

ここで $a, b, c$ はそれぞれ、三角形の $A, B, C$ の対辺の長さである。

$P$ の重心座標を $p : q : r$ とすると、 $P$ の等長共役点の重心座標は以下の式で与えられる。

p^{-1}:q^{-1}:r^{-1}

性質

$△ ABC$ の重心の等長共役点は重心自身である。
類似重心の等長共役点は第三ブロカール点である。
ジェルゴンヌ点の等長共役点はナーゲル点である。
シュタイナー楕円上の点の等長共役は無限遠直線に移る。
等角共役点、等長共役点と元の点が共線であるような点の軌跡はシュタイナー-ウォレス双曲線、ウォレス双曲線（Steiner-Wallace hyperbola,Wallace hyperbola）と呼ばれる。ウォレス双曲線はキーペルト双曲線を重心を中心に-2倍拡大した（2:1の反転をした）図形で、中心はシュタイナー点である^[13]^[14]。また、重心、内心と傍心を通る。

出典

Robert Lachlan, An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry, Macmillan and Co., 1893, page 57.
Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, pp. 157–159, 278

^ Evan Chen『数学オリンピック幾何への挑戦　ユークリッド幾何学を巡る船旅』日本評論社、2023年、92頁。ISBN 9784535789784。
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^ “Where are the Conjugates?”. Forum Geometricorum. 2024年5月25日閲覧。
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^ 窪田忠彦『近世幾何学』岩波書店、1947年、5,124-125頁。doi:10.11501/1063410。
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^ “Extended glossary”. faculty.evansville.edu. 2024年5月25日閲覧。
^ “table61”. bernard-gibert.fr. 2024年5月25日閲覧。

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Isotomic Conjugate". mathworld.wolfram.com (英語).
Pauk Yiu: Isotomic and isogonal conjugates
Navneel Singhal: Isotomic and isogonal conjugates
C. Kimberling:Encyclopedia of Triangle Centers

[1] Evan Chen『数学オリンピック幾何への挑戦　ユークリッド幾何学を巡る船旅』日本評論社、2023年、92頁。ISBN 9784535789784。

[2] “Isotomic and isogonal conjugates”. Geogebra. 2024年5月25日閲覧。

[3] “Where are the Conjugates?”. Forum Geometricorum. 2024年5月25日閲覧。

[4] K. R. S. Sastry. “Triangles with Special Isotomic Conjugate Pairs”. Forum Geometricorum. 2024年5月25日閲覧。

[5] 窪田忠彦『近世幾何学』岩波書店、1947年、5,124-125頁。doi:10.11501/1063410。

[:1-6] 長沢亀之助『幾何学辞典 : 問題解法続訂補10版 (数学辞典叢書)』長沢亀之助、1912年、618,637頁。doi:10.11501/952919。

[7] “等距離共役点”. 2024年7月25日閲覧。

[8] 森本清吾『近世幾何学』積善館、1929年、65,75,84頁。doi:10.11501/1171033。

[:0-9] ジョン・ケージー著、山下安太郎, 高橋三蔵訳『幾何学続編』有朋堂、1909年。doi:10.11501/828521。

[10] 森本清吾『初等幾何学』朝倉書店、1953年、34頁。doi:10.11501/1372292。

[11] 森本清吾『座標幾何学 (共立全書 ; 第40)』共立出版、1952年、87,127頁。doi:10.11501/1372006。

[12] 森本清吾『沢山勇三郎全集』岩波書店、1938年、125-127頁。doi:10.11501/1239383。

[13] “Extended glossary”. faculty.evansville.edu. 2024年5月25日閲覧。

[14] “table61”. bernard-gibert.fr. 2024年5月25日閲覧。

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等長共役

定義

座標

性質

関連項目

出典

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