等周定理

数学における等周定理（とうしゅうていり）とは、表面積と体積に関する幾何学的不等式である。${\displaystyle n}$次元空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ の物体 ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$ においてその表面積を ${\displaystyle \mathrm {surf} (S)}$、体積を ${\displaystyle \mathrm {vol} (S)}$ で表すと、以下の不等式が成り立つ。

${\displaystyle \mathrm {surf} (S)\geq n\mathrm {vol} (S)^{\frac {n-1}{n}}\mathrm {vol} (B_{1})^{\frac {1}{n}}}$,

この式の ${\displaystyle B_{1}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ は単位球である。等号は ${\displaystyle S}$ が ${\displaystyle n}$次元の球体であるときに成り立つ。

${\displaystyle n=2}$、即ち平面の時には、閉曲線の長さとそれによって囲まれる領域の面積の関係となる[1]。周長を L、領域の面積を A とすると以下の式が成り立つ。

${\displaystyle 4\pi A\leq L^{2},}$

等号は領域が円の時のみ成り立つ[2]。

出典

1. 『初等幾何学特選問題』1932、1932年、124-143頁。doi:10.11501/1211458。 
2. “等周問題に関連する高校数学の問題”. 高校数学の美しい物語 (2021年3月7日). 2024年7月19日閲覧。