操作変数法のイメージ 操作変数法 （そうさへんすうほう、英 : method of instrumental variables, IV ）とは、統計学 、計量経済学 、疫学 、また関連分野において、統制された実験が出来ない時、もしくは処置がランダムに割り当てられない時に、因果関係 を推定するための方法である[ 1]
操作変数法は説明変数（共変数）が回帰 モデルにおける誤差項と相関している時に一致推定 （英語版 ） 除外変数 が存在する時、共変数に測定誤差がある時（error-in-variables models ）に起こるだろう。回帰の文脈において一つないしは複数の問題を持つ説明変数は時折、内生性 として言及される。この状況下では、最小二乗法 はバイアスを持ち一致性を持たない推定量を生み出す[ 2] 操作変数 が利用可能ならば、一致推定量を得ることができる。操作変数とはそれ自身は説明すべき方程式には依存していないが、内生的な説明変数とほかの共変数の値による条件の下で相関している変数のことである。線形モデルにおいては操作変数法を用いるために二つの必要な仮定がある。
操作変数は他の共変数で条件付けた時に、内生的な説明変数と相関しなくてはならない。もしこの相関が統計的に有意なほど高ければ、その操作変数は強い第一段階 （英 : strong first stage ）を持つと言う。相関が弱いとパラメータの推定値と標準誤差について間違った推論を導きかねない[ 3]
操作変数は説明方程式の誤差項と他の共変数で条件付けた時に相関してはならない。言い換えると、操作変数は元の予測変数と同じ問題に直面することがない。もしこの条件が満たされているならば、その操作変数は除外制約 （英 : exclusion restriction ）を満たすと言う。
操作変数法の概念はフィリップ・ライト（英 : Philip G. Wright ）と共著者で息子のシューアル・ライト により、1928年に出版された著書The Tariff on Animal and Vegetable Oils [ 4] [ 5] 同時方程式 （英語版 ） errors-in-variables models の文脈で同じ手法を用い、その手法に名前を与えた[ 6]
操作変数法の背後にあるアイデアは広いモデルのクラスに拡張できるが、操作変数法についての非常に一般的な文脈は線形回帰にある。伝統的に、操作変数は
Z
{\displaystyle Z}
X
{\displaystyle X}
U
{\displaystyle U}
[ 7]
Y
=
β
X
+
U
{\displaystyle Y=\beta X+U\,}
ここで
X
{\displaystyle X}
最小二乗法 (OLS)が、
c
o
v
(
X
,
U
)
=
0
{\displaystyle cov(X,U)=0}
β
{\displaystyle \beta }
m
i
n
(
Y
−
β
X
)
2
{\displaystyle min(Y-\beta X)^{2}}
X
′
(
Y
−
β
X
)
=
X
′
U
=
0
{\displaystyle X'(Y-\beta X)=X'U=0}
c
o
v
(
X
,
U
)
≠
0
{\displaystyle cov(X,U)\neq 0}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
除外変数 が存在するならば、OLS の手続きは、
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
一変数の場合を用いるとより明確になる。一変数と定数についての回帰を考えているとしよう（ひょっとしたら他の共変数は必要ないかもしれない、またひょっとしたらすでに他の関連する共変数を統制 （英語版 ）
y
=
α
+
β
x
+
u
{\displaystyle y=\alpha +\beta x+u}
この場合、興味のある説明変数に対する係数は
β
=
c
o
v
(
x
,
y
)
v
a
r
(
x
)
{\displaystyle \beta ={\frac {cov(x,y)}{var(x)}}}
[ 8]
y
{\displaystyle y}
β
=
c
o
v
(
x
,
y
)
v
a
r
(
x
)
=
c
o
v
(
x
,
α
+
β
x
+
u
)
v
a
r
(
x
)
=
β
+
c
o
v
(
x
,
u
)
v
a
r
(
x
)
→
β
{\displaystyle \beta ={\frac {cov(x,y)}{var(x)}}={\frac {cov(x,\alpha +\beta x+u)}{var(x)}}=\beta +{\frac {cov(x,u)}{var(x)}}\rightarrow \beta }
もし想定しているモデル上において
c
o
v
(
x
,
u
)
≠
0
{\displaystyle cov(x,u)\neq 0}
OLS は興味のある因果効果を反映していない 係数を推定する。操作変数法は、
x
{\displaystyle x}
u
{\displaystyle u}
z
{\displaystyle z}
u
{\displaystyle u}
β
→
{\displaystyle {\vec {\beta }}}
z
{\displaystyle z}
x
{\displaystyle x}
u
{\displaystyle u}
もちろん、操作変数法はより広い非線形モデルのクラスにも適用されてきた。操作変数の一般的な定義は、反事実的かつグラフィカルな形式論を用いることで、ジューディア・パール によって与えられた[ 9] Z が次の条件を満たすことで与えられる。
(
Z
⊥
⊥
Y
)
G
X
¯
(
Z
⧸
⊥
⊥
X
)
G
{\displaystyle (Z\perp \!\!\!\perp Y)_{G_{\overline {X}}}\qquad (Z\not \!\!{\perp \!\!\!\perp }X)_{G}}
ここで
⊥
⊥
{\displaystyle \perp \!\!\!\perp }
ベイジアン・ネットワーク におけるd分離 （英語版 ）
G
X
¯
{\displaystyle G_{\overline {X}}}
X
{\displaystyle X}
操作変数の反事実的（英 : counterfactual ）な定義は操作変数 Z が以下を満たすことである。
(
Z
⊥
⊥
Y
x
)
(
Z
⧸
⊥
⊥
X
)
{\displaystyle (Z\perp \!\!\!\perp Y_{x})\qquad (Z\not \!\!{\perp \!\!\!\perp }X)}
ここで
Y
x
{\displaystyle Y_{x}}
X
{\displaystyle X}
x
{\displaystyle x}
Y
{\displaystyle Y}
⊥
⊥
{\displaystyle \perp \!\!\!\perp }
もし追加的な共変数
W
{\displaystyle W}
W
{\displaystyle W}
Z
{\displaystyle Z}
パールの定義のエッセンスは
興味のある方程式は"構造的"なものであり、単なる"回帰"ではない。
誤差項
U
{\displaystyle U}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
操作変数
Z
{\displaystyle Z}
U
{\displaystyle U}
操作変数
Z
{\displaystyle Z}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
操作変数
Z
{\displaystyle Z}
X
{\displaystyle X}
ということである。
これらの条件は方程式の特定の関数形に依存しておらず、ゆえに非線形方程式、つまり誤差項
U
{\displaystyle U}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
[ 9]
カジュアルな言い方では、ある変数
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
Z
{\displaystyle Z}
[ 10]
ヨシュア・アングリスト とアラン・クルーガー は操作変数法の使用と歴史についてのサーベイを行っている[ 11]
U
{\displaystyle U}
Z
{\displaystyle Z}
U
{\displaystyle U}
Z
{\displaystyle Z}
W
{\displaystyle W}
図1: 場所の近さ（Proximity）が図書館の使用時間（Library Hours）が与えられた下で操作変数として機能している。 図2:
G
X
¯
{\displaystyle G_{\overline {X}}}
図3: 場所の近さ（Proximity）が図書館の使用時間（Library Hours）が与えられた下で操作変数として機能していない。 図4: 場所の近さ（Proximity）は操作変数として機能するが、図書館の使用時間（Library Hours）が与えられた下では操作変数として機能しない。 ランダムに学生が寮に割り当てられるような大学において、大学のチュータープログラム（Tutoring Program）がGPAに与える影響を推定したいとしよう。チュータープログラムへの出席とGPAの間の関係は数多くの要因によって混同される。チュータープログラムに出席した学生は自分の成績に注意を払うかもしれないし、努力をするかもしれない（この混同は図.1-3における右側のチュータープログラムとGPAの間の双方向に伸びる弧を通して描写される）。学生が寮にランダムに割り当てられたとして、チュータープログラムが行われる場所からの学生の寮の近さは操作変数の自然な候補になる。
しかしながら、チュータープログラムが大学の図書館で行われたらどうなるだろうか。チュータープログラムが行われる場所と寮の近さは学生がより図書館で時間を費やそうとする原因になりうるだろうし、今度はそれがGPAを改善するだろう（図1を参照）。図2において描写されている因果グラフを用いると、チュータープログラムの行われる場所の近さは、グラフ
G
X
¯
{\displaystyle G_{\overline {X}}}
→
{\displaystyle \rightarrow }
→
{\displaystyle \rightarrow }
G
X
¯
{\displaystyle G_{\overline {X}}}
今、図3のように学生"そのものが持つ能力"（Ability）が学生のGPAと同じくらい学生の図書館にいる時間に影響を与えるとしよう。因果グラフを用いれば、図書館の使用時間はコライダーとなり、図書館で条件付けることは「場所の近さ（Proximity）
→
{\displaystyle \rightarrow }
↔
{\displaystyle \leftrightarrow }
最後に、図4で示されているように、図書館で勉強しない学生は単に他の場所で勉強するので、図書館の使用時間はGPAに何の影響も与えないとしよう。この場合、図書館の使用時間を制御することは場所の近さからGPAまでの信用できない経路を開く。しかしながら、図書館の使用時間をコントロールせず、共変数から除外すると、場所の近さは操作変数として用いることが出来る。
今またここで操作変数法の詳細を考えよう。以下のような形でデータが生成されるとする。
y
i
=
X
i
′
β
+
e
i
,
{\displaystyle y_{i}=X_{i}'\beta +e_{i},}
ここで
i
{\displaystyle i}
y
i
{\displaystyle y_{i}}
X
i
{\displaystyle X_{i}}
e
i
{\displaystyle e_{i}}
X
i
{\displaystyle X_{i}}
y
i
{\displaystyle y_{i}}
β
{\displaystyle \beta }
上付きの添え字
′
{\displaystyle '}
転置 、 とする。
パラメータ
β
{\displaystyle \beta }
X
i
{\displaystyle X_{i}}
y
i
{\displaystyle y_{i}}
y
i
{\displaystyle y_{i}}
β
{\displaystyle \beta }
e
{\displaystyle e}
また同じ形の回帰モデルも導出できるとする。観測値のランダムなサンプルのサイズを
T
{\displaystyle T}
最小二乗法 による推定量は以下のようになる。
β
^
O
L
S
=
(
X
′
X
)
−
1
X
′
y
=
(
X
′
X
)
−
1
X
′
(
X
β
+
e
)
=
β
+
(
X
′
X
)
−
1
X
′
e
{\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {OLS} }=(X'X)^{-1}X'y=(X'X)^{-1}X'(X\beta +e)=\beta +(X'X)^{-1}X'e}
ここで
X
{\displaystyle X}
X
i
′
{\displaystyle X_{i}'}
T
{\displaystyle T}
y
{\displaystyle y}
e
{\displaystyle e}
T
{\displaystyle T}
c
o
v
(
X
,
y
)
{\displaystyle cov(X,y)}
X
{\displaystyle X}
e
{\displaystyle e}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
e
{\displaystyle e}
β
{\displaystyle \beta }
X
{\displaystyle X}
y
{\displaystyle y}
X
{\displaystyle X}
y
{\displaystyle y}
パラメータ
β
{\displaystyle \beta }
X
{\displaystyle X}
y
{\displaystyle y}
e
{\displaystyle e}
Z
{\displaystyle Z}
X
{\displaystyle X}
T
{\displaystyle T}
Z
{\displaystyle Z}
T
{\displaystyle T}
X
{\displaystyle X}
Z
{\displaystyle Z}
X
{\displaystyle X}
T
{\displaystyle T}
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
X
{\displaystyle X}
Z
{\displaystyle Z}
T
{\displaystyle T}
K
{\displaystyle K}
適切に識別されている （英語版 ）
それぞれの内生的要素
x
i
{\displaystyle x_{i}}
x
i
=
Z
i
γ
+
v
i
,
{\displaystyle x_{i}=Z_{i}\gamma +v_{i},}
最も一般的な操作変数による特定化は以下の推定量を用いる。
β
^
I
V
=
(
Z
′
X
)
−
1
Z
′
y
{\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {IV} }=(Z'X)^{-1}Z'y}
この特定化は、真のモデルにおいて
Z
′
e
=
0
{\displaystyle Z'e=0}
β
^
I
V
=
(
Z
′
X
)
−
1
Z
′
y
=
(
Z
′
X
)
−
1
Z
′
X
β
+
(
Z
′
X
)
−
1
Z
′
e
→
β
{\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {IV} }=(Z'X)^{-1}Z'y=(Z'X)^{-1}Z'X\beta +(Z'X)^{-1}Z'e\rightarrow \beta }
データを生成する過程において
Z
′
e
=
0
{\displaystyle Z'e=0}
β
{\displaystyle \beta }
Z
′
e
=
0
{\displaystyle Z'e=0}
今、拡張を行う。興味のある方程式における共変数の数より操作変数の数の方が大きいとする。つまり
Z
{\displaystyle Z}
T
{\displaystyle T}
M
{\displaystyle M}
M
>
K
{\displaystyle M>K}
過剰識別 のケースと呼ばれる。この場合、一般化モーメント法 (GMM)を用いることができる。GMM推定量は以下のようになる。
β
^
G
M
M
=
(
X
′
P
Z
X
)
−
1
X
′
P
Z
y
,
{\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {GMM} }=(X'P_{Z}X)^{-1}X'P_{Z}y,}
ここで
P
Z
{\displaystyle P_{Z}}
射影行列 であり、
P
Z
=
Z
(
Z
′
Z
)
−
1
Z
′
{\displaystyle P_{Z}=Z(Z'Z)^{-1}Z'}
この表現は、操作変数の数と興味のある方程式における共変数の数が一致する時に、最初の表現にまとめることができる。過剰識別の操作変数法はそれゆえに、適切に識別された場合の操作変数法の一般化の一つである。
適切に識別されているときに、βGMM が βIV にまとめられることの証明
ここで、
m
<
k
{\displaystyle m<k}
過小識別 （英語版 ）
Z
′
v
=
0
{\displaystyle Z'v=0}
操作変数法による推定量を計算するために使用できる計算方法の一つが二段階最小二乗法（英 : two-stage least-squares, 2SLS, TSLS ）である。第一段階において、興味のある方程式において内生性を持つすべての説明変数を、方程式における外生的な共変数と除外されている操作変数を含んだ全てのモデルにおける外生的な変数で回帰する。そしてこの回帰における予測値が得られる。
第一段階：
X
{\displaystyle X}
Z
{\displaystyle Z}
X
=
Z
δ
+
errors
{\displaystyle X=Z\delta +{\text{errors}}}
δ
^
=
(
Z
′
Z
)
−
1
Z
′
X
,
{\displaystyle {\widehat {\delta }}=(Z'Z)^{-1}Z'X,\,}
そして予測値を保存する。
X
^
=
Z
δ
^
=
Z
(
Z
′
Z
)
−
1
Z
′
X
=
P
Z
X
.
{\displaystyle {\widehat {X}}=Z{\widehat {\delta }}=Z(Z'Z)^{-1}Z'X=P_{Z}X.\,}
第二段階では、内生変数をすべて第一段階での予測値に置き換える以外は、興味のある回帰は通常通り推定される。
第二段階：
Y
{\displaystyle Y}
Y
=
X
^
β
+
n
o
i
s
e
.
{\displaystyle Y={\widehat {X}}\beta +\mathrm {noise} .\,}
ここから以下が得られる。
β
2
S
L
S
=
(
X
′
P
Z
X
)
−
1
X
′
P
Z
Y
{\displaystyle \beta _{2SLS}=\left(X'P_{Z}X\right)^{-1}X'P_{Z}Y}
β
{\displaystyle \beta }
β
{\displaystyle \beta }
構造方程式の形式が未知の時、操作変数
Z
{\displaystyle Z}
x
=
g
(
z
,
u
)
{\displaystyle x=g(z,u)\,}
y
=
f
(
x
,
u
)
{\displaystyle y=f(x,u)\,}
ここで
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
Z
{\displaystyle Z}
U
{\displaystyle U}
Z
,
X
{\displaystyle Z,X}
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
英 : average causal effect, ACE ）の識別を可能としない。
ACE
=
Pr
(
y
∣
do
(
x
)
)
=
E
u
[
f
(
x
,
u
)
]
.
{\displaystyle {\text{ACE}}=\Pr(y\mid {\text{do}}(x))=\operatorname {E} _{u}[f(x,u)].}
Balke and Pearl (1997) はACEの狭い境界を導出し、その境界はACEの符号と大きさについて価値ある情報を提供しうることを示した[ 13]
線形分析では、
Z
{\displaystyle Z}
(
X
,
Y
)
{\displaystyle (X,Y)}
X
{\displaystyle X}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
Z
{\displaystyle Z}
英 : instrumental inequality ）を満たさなくてはいけないことを示した[ 9]
max
x
∑
y
[
max
z
Pr
(
y
,
x
∣
z
)
]
≤
1.
{\displaystyle \max _{x}\sum _{y}[\max _{z}\Pr(y,x\mid z)]\leq 1.}
上での例は興味のある因果効果は観測値の間で不変であることを仮定している、つまり、
β
{\displaystyle \beta }
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
[ 14]
標準的な操作変数推定量は平均処置効果 （英 : average treatment effect, ATE ）というよりは局所平均処置効果（英 : local average treatment effect, LATE ）を取り出すことができる。Imbens and Angrist (1994) は線形な操作変数推定量は弱い条件の下で局所平均処置効果の加重平均と見なせることを示した。ここでその加重は操作変数の変化に対する内生的な説明変数の弾力性に依存している。端的に言えば、観測された操作変数の変化に反応した部分母集団についてのみ変数の効果は表れ、操作変数の変化に最も反応した部分母集団が操作変数の大きさや程度に最も大きな影響を持つだろうということを意味している。
例えば、研究者がランドグラント大学 の存在を所得の回帰における大学教育の操作変数として使う時、研究者は大学が存在していれば学位を取るが、存在していなければ学位を取らなかった部分母集団における大学の所得に対する影響を識別する。この実証研究では、追加的な仮定なしには、大学があろうとなかろうと学位を取る、もしくは取らない人々における大学の効果について研究者は何も言えない。
操作変数が興味のある方程式の誤差項と相関していると、操作変数推定量は一般的には一致推定量ではない。Bound, Jaeger, and Baker (1995) が記すように、"弱"操作変数の選択によりまた別の問題が起こる。弱操作変数とは、第一段階の方程式において内生的な説明変数の予測値としては不十分であるような操作変数のことである[ 15]
上で議論した喫煙と健康の例における文脈では、喫煙状態がタバコ税の変動にほとんど反応しないのであれば、タバコ税は喫煙についての弱操作変数となる。もし高い税率によって人々がタバコをやめる（もしくは喫煙を始めない）ことがないのであれば、タバコ税の変動は健康に対する喫煙の影響について何も情報を持たない。もしタバコ税が喫煙に与える影響というより他の経路を通して健康に影響を与えるのであれば、タバコ税は操作変数としては不適格であるし、操作変数法は間違った結果を生みかねない。例えば、相対的に健康志向な人々がいる時と場所においては、高い税率のタバコ税の実施と、たとえタバコ税が低率のままであったとしても健康であろうする行動の両方がなされるだろう。そして、仮にもし喫煙が健康に何の影響も与えないとしても、健康とタバコ税の間に相関が見られるだろう。この場合、タバコ税と健康の間に観測された相関から健康に対するタバコの因果効果を推測するのは過ちであろう。
共変数が外生的である時、最小二乗推定量の小標本における性質は、
X
{\displaystyle X}
[ 16]
内生的な共変数と操作変数は両方とも観測可能なので、操作変数の強さは直接的に評価できる[ 17] 帰無仮説 の下でのF検定 統計量が10以上かどうかで判別する。
操作変数が興味のある方程式の誤差項と相関していないという仮説は、適切に識別されたモデルでは検定不可能である。もしモデルが過剰識別ならば、この仮説を検定するために用いることのできる利用可能な情報がある。これらの過剰識別制約 の最も一般的な検定で、サーガン-ハンセン検定 （英語版 ） [ 18]
T
R
2
{\displaystyle TR^{2}}
決定係数 に観測値の数を掛けたもの）として計算できる。この検定統計量（の分布）は誤差項は操作変数と無相関であるという帰無仮説の下で自由度
m
−
k
{\displaystyle m-k}
^ Imbens, G.; Angrist, J. (1994), “Identification and estimation of local average treatment effects” , Econometrica 62 (2): 467–476, JSTOR 2951620 , https://jstor.org/stable/2951620 ^ Bullock, J. G.; Green, D. P.; Ha, S. E. (2010). “Yes, But What’s the Mechanism? (Don’t Expect an Easy Answer)”. Journal of Personality and Social Psychology 98 (4): 550–558. doi :10.1037/a0018933 . ^ https://www.stata.com/meeting/5nasug/wiv.pdf ^ The Fall of OLS in Structural Estimation , doi :10.2307/2663184 (inactive 23 March 2015), JSTOR 2663184 。^ Stock, James H.; Trebbi, Francesco (2003). "Retrospectives: Who Invented Instrumental Variable Regression?". Journal of Economic Perspectives . 17 (3): 177–194. doi :10.1257/089533003769204416 。 ^ Reiersøl, Olav (1945). Confluence Analysis by Means of Instrumental Sets of Variables . Arkiv for Mathematic, Astronomi, och Fysik. 32A . Uppsala: Almquist & Wiksells. OCLC 793451601 ^ Bowden, R.J.; Turkington, D.A. (1984). Instrumental Variables . Cambridge, England: Cambridge University Press ^ 証明については [1] を参照。
^ a b c Pearl, J. (2000). Causality: Models, Reasoning, and Inference . New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-89560-X
^ Leigh, J. P.; Schembri, M. (2004), “Instrumental Variables Technique: Cigarette Price Provided Better Estimate of Effects of Smoking on SF-12”, Journal of Clinical Epidemiology 57 (3): 284–293, doi :10.1016/j.jclinepi.2003.08.006 ^ Angrist, J.; Krueger, A. (2001), “Instrumental Variables and the Search for Identification: From Supply and Demand to Natural Experiments”, Journal of Economic Perspectives 15 (4): 69–85, doi :10.1257/jep.15.4.69 ^ Davidson, Russell; Mackinnon, James (1993). Estimation and Inference in Econometrics . New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-506011-3 ^ Balke, A.; Pearl, J. (1997). “Bounds on treatment effects from studies with imperfect compliance”. Journal of the American Statistical Association 92 (439): 1172–1176. doi :10.1080/01621459.1997.10474074 . ^ Heckman, J. (1997). “Instrumental variables: A study of implicit behavioral assumptions used in making program evaluations”. Journal of Human Resources 32 (3): 441–462. JSTOR 146178 . ^ Bound, J.; Jaeger, D. A.; Baker, R. M. (1995). “Problems with Instrumental Variables Estimation when the Correlation between the Instruments and the Endogenous Explanatory Variable is Weak”. Journal of the American Statistical Association 90 (430): 443. doi :10.1080/01621459.1995.10476536 . ^ Nelson, C. R.; Startz, R. (1990). “Some Further Results on the Exact Small Sample Properties of the Instrumental Variable Estimator”. Econometrica 58 (4): 967–976. JSTOR 2938359 . ^ Stock, J.; Wright, J.; Yogo, M. (2002). “A Survey of Weak Instruments and Weak Identification in Generalized Method of Moments”. Journal of the American Statistical Association 20 (4): 518–529. doi :10.1198/073500102288618658 . ^ Hayashi, Fumio (2000). “Testing Overidentifying Restrictions” . Econometrics . Princeton: Princeton University Press. pp. 217–221. ISBN 0-691-01018-8 . https://books.google.com/books?id=QyIW8WUIyzcC&pg=PA217
Greene, William H. (2008). Econometric Analysis (Sixth ed.). Upper Saddle River: Pearson Prentice-Hall. pp. 314–353. ISBN 978-0-13-600383-0 Gujarati, Damodar N.; Porter, Dawn C. (2009). Basic Econometrics (Fifth ed.). New York: McGraw-Hill Irwin. pp. 711–736. ISBN 978-0-07-337577-9 Wooldridge, Jeffrey M. (2013). Introductory Econometrics: A Modern Approach (Fifth international ed.). Mason, OH: South-Western. pp. 490–528. ISBN 978-1-111-53439-4
_2.png)
![{\displaystyle {\text{ACE}}=\Pr(y\mid {\text{do}}(x))=\operatorname {E} _{u}[f(x,u)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6ea36b8f79d0df3bb0e66e1b9273b9c9ae67edb)
![{\displaystyle \max _{x}\sum _{y}[\max _{z}\Pr(y,x\mid z)]\leq 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b089badc50cd6306cc6c673f45027813e1ebc23e)
