数学 の、特に解析学 における冪函数 （べきかんすう、巾函数、英 : power function a に対して定義される函数
f
a
:
x
↦
x
a
{\displaystyle f_{a}\colon x\mapsto x^{a}}
を言う。ここに定数 a は、この冪函数の冪指数 (exponent) と呼ばれ、文脈により自然数 、整数 、有理数 、実数 、複素数 などに値をとることができるが、a の持つ性質によって対応する函数 fa の自然な定義域 が異なってくることに注意が必要である。
冪函数は実変数に対する函数として一般に定義することができる。自然数冪を持つ冪函数は、多項式函数 あるいは冪級数 の展開の基底 を与える。また実数冪を持つ冪函数は物理学 、生物学 、経済学 などにおいて関係するモデルを与える。
複素変数に関して有効な議論も中にはあるが、以下では専ら実変数 x に関する冪函数について述べる。またより一般には、上記函数の定数倍 pxa （単項式函数）をも含む意味で冪函数と呼ぶ場合もあるが、本項では常に p = 1
冪指数がそれぞれ 0 (黒) , 1 (青) , 2 (赤) , 3 (緑) , 4 (橙) , 5 (紫) の冪函数 各自然数 n に対して ℝ 上の函数
f
n
(
x
)
:=
x
n
=
x
×
⋯
×
x
⏟
n
{\displaystyle f_{n}(x):=x^{n}=\underbrace {x\times \cdots \times x} _{n}}
が定義できる。この函数は、
n が偶数 のとき偶函数 、すなわち任意の実数 x に対して f (–x ) = f (x )函数のグラフ は y -軸に関して線対称 になる。n が奇数 のとき奇函数 、すなわち任意の実数 x に対して f (–x ) = –f (x )原点 に関して点対称 である。小さい n に対する冪函数を具体的に書けば:
n = 1恒等変換 f 1 (x ) = x .一次函数 であり、線型変換 にもなる。n = 2平方函数 f 2 (x ) = x 2 .二次函数 であり、グラフが放物線 となる唯一の冪函数である.n = 3f 3 (x ) = x 3 三次函数 である.n = 0x ↦ x 0 f 0 (x ) ≡ 1これらの函数はすべて、x = 11 に等しい。また特に、m < n
x
n
<
x
m
(
0
<
x
<
1
)
,
{\displaystyle x^{n}<x^{m}\quad (0<x<1),}
x
n
>
x
m
(
1
<
x
)
{\displaystyle x^{n}>x^{m}\quad (1<x)}
が成り立つ。
自然数冪の場合には、定数函数 1 となる n = 0狭義単調 に、x = 00 から x → +∞+∞ まで増大する。対照的に負の実軸上では区別が生じ、n が零でない偶数のとき狭義単調減少であり、n が奇数のとき狭義単調増大になる（特に n ≠ 1変曲点 を持つ）。
自然数冪函数は多項式函数 の構成に利用できる。また、自然数冪函数の全体は、別の函数を冪級数 に展開する際の基底を与える。
冪指数がそれぞれ –1 (青) , –2 (赤) , –3 (緑) の冪函数 各負の整数 −n に対して、非零実数の集合 R * ≔ R ∖ {0} = {x ∈ R | x ≠ 0}
f
−
n
(
x
)
:=
x
−
n
=
1
x
n
=
1
f
n
(
x
)
{\displaystyle f_{-n}(x):=x^{-n}={\frac {1}{x^{n}}}={\frac {1}{f_{n}(x)}}}
が定義される。前節の fn と同様に、函数 f –n n が偶数のとき偶、奇数のとき奇である。
小さい n に対して具体的に書けば:
−n = −1 のとき、逆数函数 f −1 (x ) = 1 ⁄x 双曲線 となる唯一の冪函数である。これらの函数もすべて f −n (1) = 1m < n
x
−
n
>
x
−
m
(
0
<
x
<
1
)
,
{\displaystyle x^{-n}>x^{-m}\quad (0<x<1),}
x
−
n
<
x
−
m
(
1
<
x
)
{\displaystyle x^{-n}<x^{-m}\quad (1<x)}
が成り立つ。
これら負の整数冪の冪函数はすべて、正の実軸上で狭義単調 に x → +0+∞ から x → +∞0 まで減少する。これらのグラフはすべて x = 0y = 0漸近線 に持つ。負の実軸上では、偶数冪ならば単調増大、奇数冪ならば単調減少の区別が生じる。
冪指数がそれぞれ 1/2 (青) , 1/3 (赤) の冪函数 任意の非零自然数 n に対して、
n が偶数のときは fn : [0, +∞) → [0, +∞)n が奇数のときは fn : ℝ → ℝ函数 fn は全単射 である。従ってその逆函数 が存在するが、fn の逆函数は n -乗根函数といい、やはりこれも冪函数として
f
n
−
1
(
x
)
:=
x
n
=
x
1
/
n
=:
f
1
/
n
(
x
)
{\displaystyle f_{n}^{-1}(x):={\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}=:f_{1/n}(x)}
なる形に書くことができる。x → +∞+∞ となるが、グラフは横軸に平行に近づく。直交座標系にグラフを書けば f 1/n y = x fn と（必要ならば正の実軸上の函数に制限して）対称である。
冪指数がそれぞれ -0,5 (赤) , 0 (黒) , 0,6 (緑) , 1 (青) , 1,7 (紫) の冪函数 指数函数 と対数函数 が既知ならば、それらを用いて冪函数を任意の実数を冪指数とするものへ一般化することができる。x は真に正の値をとるものとすれば、函数 fa は
f
a
(
x
)
=
x
a
:=
e
a
ln
(
x
)
{\displaystyle f_{a}(x)=x^{a}:=e^{a\ln(x)}}
で定義される。a の値によっては、既にみたように x = 0R *R 定義域 を拡張することができる。あるいは a の値によって x = 0a の符号で決まる。函数の凸性 は二階導函数の符号に関係するが、したがって今の場合だと冪函数の凸性は a (a −1)
冪函数は区間 (0, +∞) 上で常に微分可能で、その導函数は
f
a
′
(
x
)
=
a
x
a
−
1
{\displaystyle f_{a}'(x)=ax^{a-1}}
によって与えられる。従って、冪指数が −1 でなければ、同じ区間上で常に原始函数が存在して、その一つが
F
a
(
x
)
:=
x
a
+
1
a
+
1
{\displaystyle F_{a}(x):={\frac {x^{a+1}}{a+1}}}
で与えられる。a = −1自然対数 が原始函数として生じる。
対数函数 、底 b > 1指数函数 および a > 0x → +∞+∞ へ発散する。従って、それらに対してそれぞれの「強さ」を定義して増大度を比較することができる。すなわち
命題 (増大度の比較)
+∞ において、指数函数は任意の冪函数「よりも強く」、同じく任意の冪函数は対数函数「より強い」:
lim
x
→
+
∞
b
x
x
a
=
+
∞
,
lim
x
→
+
∞
log
b
(
x
)
x
a
=
0.
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {b^{x}}{x^{a}}}=+\infty ,\quad \lim _{x\to +\infty }{\frac {\log _{b}(x)}{x^{a}}}=0.}
正の数 a に対して limx →0fa (x ) = 0 である。他の函数とこの極限の収束度を比較しよう。函数 f が位数 n の無限小 であるとは、f (x )xn x = 0[ 1] [ 注釈 1]
函数 f が区間 I 上で a -ヘルダー連続M が存在して
|
f
(
x
)
−
f
(
y
)
|
≤
M
|
x
−
y
|
a
(
∀
x
,
y
∈
I
)
{\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq M|x-y|^{a}\quad (\forall x,y\in I)}
とできるときに言う。一般に、a は 0 < a ≤ 1 で考えるものとする（a > 1f は I 上で定数ということになってしまう）。
冪指数 a (0 < a ≤ 1)a -ヘルダー連続函数となる。実際、実数x ≥ y ≥ 0
0
≤
x
a
−
y
a
≤
(
x
−
y
)
a
{\displaystyle 0\leq x^{a}-y^{a}\leq (x-y)^{a}}
が成り立つ。
冪函数 fa は x 0 冪級数
(
x
0
+
x
)
a
=
∑
n
=
0
+
∞
(
a
n
)
x
0
a
−
n
x
n
{\displaystyle (x_{0}+x)^{a}=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{{a \choose n}\,x_{0}^{a-n}x^{n}}}
に展開できる。ただし、
(
a
n
)
:=
a
(
a
−
1
)
(
a
−
2
)
⋯
(
a
−
n
+
1
)
n
!
{\displaystyle {a \choose n}:={\frac {a(a-1)(a-2)\cdots (a-n+1)}{n!}}}
(
a
0
)
:=
1
{\displaystyle {a \choose 0}:=1}
は一般二項係数 である。
a が自然数ならば、上記の和は有限項で止まり、二項定理 となることに注意する（特にその場合には、収束半径は無限大である）。さもなくば和は無限項を含み、収束半径 x 0
複素変数を考える場合、任意の自然数 n に対してはガウス平面 C z ↦ zn C 多項式函数 の構成や正則函数 の冪級数展開に利用される。また負の整数 −n に対しても、非零複素数の集合 C * = C ∖ {0} = {z ∈ C | z ≠ 0}z ↦ z −n
しかし a が実または複素数のとき、C *za C *複素対数函数 L が定まるようなものへ制限する必要がある。そしてそのような開集合上で、冪函数は
f
a
(
z
)
=
z
a
:=
exp
(
a
L
(
z
)
)
{\displaystyle f_{a}(z)=z^{a}:=\exp(aL(z))}
と定義される正則函数となる。
^ また、Appell, Paul Émile [要文献特定詳細情報 は f a x が 0 に近づくとき
A
<
|
f
(
x
)
x
a
|
<
B
{\textstyle A<{\bigl |}{\frac {f(x)}{x^{a}}}{\bigr |}<B}
f a x が 0 に近づくとき
f
(
x
)
x
a
{\textstyle {\frac {f(x)}{x^{a}}}}
[ 2]
^ Jacqueline Lelong-Ferrand et Jean-Marie Arnaudiès , Cours de mathématiques, T2 , Bordas , Paris, 1977, p. 147.^ Chikine, Evgeny (1993), Mathématiques supérieures, pour ingénieurs et polytechniciens , De Boeck
![{\displaystyle f_{n}^{-1}(x):={\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}=:f_{1/n}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af3ff9510c9644a4ed5ec69c7240f2954815d555)
