ローレンツ因子 (英 : Lorentz factor , Lorenz term 相対論的質量 に依存して変化する因子である。ローレンツ変換 の結果現われる因子であり、特殊相対性理論 の方程式にしばしば現われる。相対性理論よりも前にオランダ人 の物理学者 ・ヘンドリック・ローレンツ により提唱されたローレンツ電磁気学に現われることからこう呼ばれる[ 1]
その遍在性から、一般にギリシャ文字 γ (小文字のガンマ )により表わされる。場合によっては（特に超光速運動 の文脈では) Γ (大文字のガンマ)により表わされることもある。
ローレンツ因子は下のように定義される[ 2]
γ
=
1
1
−
v
2
/
c
2
=
1
1
−
β
2
=
d
t
d
τ
{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau }}}
ここで、
v : 慣性系間の相対速度 β : v と c との比（β = v /c τ : 観測者の固有時 （観測者自身の慣性系で測定される時間間隔）t : 座標時 c : 真空中における光速 とする。
上の定義が最もよく実用に用いられているが他の定義も存在し、たとえば次のように上の定義の逆数と定義することもある[ 3]
α
=
1
γ
=
1
−
β
2
{\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\gamma }}={\sqrt {1-\beta ^{2}}}}
速度の合成則 （英語版 ）
下に γ を含む特殊相対性理論中の数式の簡単な一覧を示す[ 2] [ 4]
ローレンツ変換 x 方向へのローレンツブーストを示す（より一般的な、任意の方向と回転を含む変換はここに示さない）。 慣性系 (x , y , z , t ) から相対速度 v をもつ別の慣性系 (x′ , y′ , z′ , t′ ) への変換は以下のように表わされる。
t
′
=
γ
(
t
−
v
x
c
2
)
{\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)}
x
′
=
γ
(
x
−
v
t
)
{\displaystyle x'=\gamma \left(x-vt\right)}
上式の系として以下が得られる。
時間の遅れ (Time dilation):∆t′ ) は、時計の静止系で測った時間 (∆t ) よりも長く、以下のようになる。
Δ
t
′
=
γ
Δ
t
.
{\displaystyle \Delta t'=\gamma \Delta t.\,}
長さの縮み （英語版 ） ∆x′ ) は、その物体の静止系で測った長さ (∆x ) よりも短く、以下のようになる。
Δ
x
′
=
Δ
x
/
γ
.
{\displaystyle \Delta x'=\Delta x/\gamma .\,\!}
運動量 ・エネルギー 保存則 を適用することで以下の結果が得られる。
m
=
γ
m
0
.
{\displaystyle m=\gamma m_{0}.\,}
相対論的運動量
p
→
=
m
v
→
=
γ
m
0
v
→
.
{\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}=\gamma m_{0}{\vec {v}}.\,}
E
k
=
E
−
E
0
=
(
γ
−
1
)
m
0
c
2
{\displaystyle E_{k}=E-E_{0}=(\gamma -1)m_{0}c^{2}}
速度の関数としてのローレンツ因子 γ 。 初期値(v = 0v → c γ は上限なく増加していく (γ → ∞ 下表の左列には光速との比で表わした (単位を c とする) 様々な速度を示す。中列にはローレンツ因子、右列にはその逆数 を示す。 太字で表わした数値は厳密な値である。
速さ (単位 c)
ローレンツ因子
ローレンツ因子の逆数
0.000
1.000
1.000
0.050
1.001
0.999
0.100
1.005
0.995
0.150
1.011
0.989
0.200
1.021
0.980
0.250
1.033
0.968
0.300
1.048
0.954
0.400
1.091
0.917
0.500
1.155
0.866
0.600
1.250
0.800
0.700
1.400
0.714
0.750
1.512
0.661
0.800
1.667
0.600
0.866
2.000
0.500
0.900
2.294
0.436
0.990
7.089
0.141
0.999
22.366
0.045
0.99995
100.00
0.010
上記の表式以外にも、ローレンツ因子は様々な表式で表わすことができる。 上式では速度 v が用いられているが、運動量やラピディティのような関連する物理量 を用いた表式が便利なこともある。
上記の相対論的運動量の関係式を γ について解くと以下を得る。
γ
=
1
+
(
p
m
0
c
)
2
{\displaystyle \gamma ={\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}}
この表式が用いられることはほとんどないが、マクスウェル・ユトナー分布 （英語版 ） [ 5]
ラピディティの定義、すなわち以下で定義される双曲角 （英語版 ） φ [ 6]
tanh
φ
=
β
{\displaystyle \tanh \varphi =\beta \,\!}
を用いて γ は（双曲線関数 についての恒等式を用いて）以下のように表わされる。
γ
=
cosh
φ
=
1
1
−
tanh
2
φ
=
1
1
−
β
2
{\displaystyle \gamma =\cosh \varphi ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\varphi }}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\,\!}
ローレンツ変換 の性質を用いて、ラピディティの加法性を示すことができる。これは速度にはない有用な性質である。従って、ラピディティは物理モデルの基礎となる1-パラメータ群 （英語版 ）
ローレンツ因子は下記のように二項級数 の形にマクローリン展開 できる。
γ
=
1
1
−
β
2
=
∑
n
=
0
∞
β
2
n
∏
k
=
1
n
(
2
k
−
1
2
k
)
=
1
+
1
2
β
2
+
3
8
β
4
+
5
16
β
6
+
35
128
β
8
+
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\dfrac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\beta ^{2n}\prod _{k=1}^{n}\left({\dfrac {2k-1}{2k}}\right)\\&=1+{\tfrac {1}{2}}\beta ^{2}+{\tfrac {3}{8}}\beta ^{4}+{\tfrac {5}{16}}\beta ^{6}+{\tfrac {35}{128}}\beta ^{8}+\cdots \\\end{aligned}}}
上式を二次までで打ち切った近似式 γ ≈ 1 + 1 / 2 β 2 v < 0.4 c (v < 000 km /s v < 0.22 c (v < 000 km/s
この級数を打ち切った近似式から、特殊相対性理論 が低速域ではニュートン力学 に帰着することを示すことができる。例えば、次の二つの方程式は
p
→
=
γ
m
v
→
{\displaystyle {\vec {p}}=\gamma m{\vec {v}}}
E
=
γ
m
c
2
{\displaystyle E=\gamma mc^{2}\,}
それぞれ γ ≈ 1γ ≈ 1 + 1 / 2 β 2
p
→
=
m
v
→
{\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}
E
=
m
c
2
+
1
2
m
v
2
{\displaystyle E=mc^{2}+{\tfrac {1}{2}}mv^{2}}
ローレンツ因子の方程式を逆に解くと以下を得る。
β
=
1
−
1
γ
2
{\displaystyle \beta ={\sqrt {1-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}}}}
この式は下のような漸近形式に直すことができる。
β
=
1
−
1
2
γ
−
2
−
1
8
γ
−
4
−
1
16
γ
−
6
−
5
128
γ
−
8
+
⋯
{\displaystyle \beta =1-{\tfrac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\tfrac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\tfrac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\tfrac {5}{128}}\gamma ^{-8}+\cdots }
これを初めの2項までで打ち切った近似式 β ≈ 1 - 1 / 2 γ 2 γ から速度を概算することに使われることがある。誤差は γ > 2γ > 3.5 の範囲において 0.1% に納まる。
長寿命ガンマ線バースト の標準モデルでは、いわゆる「コンパクトさ」問題を説明するため、この現象が超相対論的 爆発（γ の初期値がおよそ 100 以上）であるとする。すなわち、超相対論的拡大がなければ放出物は対生成 を起こすほど光学的に厚く なるはずであり、初期放射は熱的なエネルギースペクトル ではなく典型的に keV [ 7]
^ One universe , by Neil deGrasse Tyson , Charles Tsun-Chu Liu, and Robert Irion.^ a b Forshaw, Jeffrey; Smith, Gavin (2014). Dynamics and Relativity ISBN 978-1-118-93329-9 . https://books.google.com/books?id=5TaiAwAAQBAJ
^ Yaakov Friedman, Physical Applications of Homogeneous Balls , Progress in Mathematical Physics 40 Birkhäuser, Boston, 2004, pages 1-21.
^ Young; Freedman (2008). Sears' and Zemansky's University Physics (12th ed.). Pearson Ed. & Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-50130-1 ^ Synge, J.L (1957).
^ Kinematics , by J.D. Jackson, See page 7 for definition of rapidity.^ Cenko, S. B. et al., iPTF14yb: The First Discovery of a Gamma-Ray Burst Afterglow Independent of a High-Energy Trigger , Astrophysical Journal Letters 803 , 2015, L24 (6 pp).
