数学 のドリンフェルト加群 （ドリンフェルトかぐん、英 : Drinfeld module ）とは、有限体 上の曲線上の関数からなる環上のある特殊な加群 のことである。カーリッツ加群 の一般化であり、楕円加群 ともいう。これを使うと、虚数乗法論 の類似理論を関数体上で構築することができる。ドリンフェルト加群の一種の一般化がシトゥーカ （英 : shtuka , 仏 : chtouca ）であり、これはおおまかに言うと曲線上のベクトル束 にその束の"フロベニウスねじり"と"改造"を結びつける付加構造を付与したものである。F 層 、シュトゥカ ともいう。
ドリンフェルト加群はウラジーミル・ドリンフェルト によって考え出され[ 1] 代数関数体 の GL2 ついてのラングランズ予想 をある特別な場合に証明するために使われた。関数体の場合、志村多様体 のようなものは存在しなかったので、このようなことが可能であろうとは誰も想像していなかった。彼は後にシトゥーカを創案し、階数が2のシトゥーカを使って GL2 についてのラングランズ予想を完全に証明した。ローラン・ラフォルグ は、階数 n のシトゥーカのモジュライ・スタック （英語版 ） n
シトゥーカは、「1つのコピー」を意味するロシア語の штука をカナ転写したものである。このロシア語は、「一切れ、もの、ひとかたまり」を意味するドイツ語の Stück に由来している。シトゥーカは、話者にとってよく知っているけど名前のないもの（あれ）を指すロシア語のスラングでもある。
L
{\displaystyle L}
p
>
0
{\displaystyle p>0}
L
{
τ
}
{\displaystyle L\{\tau \}}
L
{\displaystyle L}
非可換 （捻じれた、ともいう）多項式 （英語版 ）
a
0
+
a
1
τ
+
a
2
τ
2
+
⋯
{\displaystyle a_{0}+a_{1}\tau +a_{2}\tau ^{2}+\cdots }
τ
a
=
a
p
τ
,
a
∈
L
{\displaystyle \tau a=a^{p}\tau ,\quad a\in L}
で定義する。
τ
{\displaystyle \tau }
フロベニウス元 と思える。実際、
τ
{\displaystyle \tau }
L
{\displaystyle L}
L
{\displaystyle L}
L
{\displaystyle L}
L
{\displaystyle L}
L
{
τ
}
{\displaystyle L\{\tau \}}
L
{
τ
}
{\displaystyle L\{\tau \}}
L
[
x
]
{\displaystyle L[x]}
a
0
x
+
a
1
x
p
+
a
2
x
p
2
+
⋯
=
a
0
τ
0
+
a
1
τ
+
a
2
τ
2
+
⋯
{\displaystyle a_{0}x+a_{1}x^{p}+a_{2}x^{p^{2}}+\cdots =a_{0}\tau ^{0}+a_{1}\tau +a_{2}\tau ^{2}+\cdots \,}
全体からなる環と考えることもできる。多項式
f
{\displaystyle f}
f
(
x
+
y
)
=
f
(
x
)
+
f
(
y
)
{\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}
L
[
x
,
y
]
{\displaystyle L[x,y]}
加法的
τ
=
x
p
{\displaystyle \tau =x^{p}}
L
{\displaystyle L}
F を有限体を定数体とする代数関数体とし、F の素点
∞
{\displaystyle \infty }
F の元で
∞
{\displaystyle \infty }
A と置く。A はデデキント環 で、F の中で（
∞
{\displaystyle \infty }
離散 である。例えば、多項式環
F
q
[
t
]
{\displaystyle F_{q}[t]}
A の例である。L を体、
ι
:
A
→
L
{\displaystyle \iota :A\to L}
L 上のドリンフェルト A 加群 とは、環準同型
ϕ
:
A
→
L
{
τ
}
{\displaystyle \phi :A\to L\{\tau \}}
L には含まれず、
ϕ
{\displaystyle \phi }
d
:
L
{
τ
}
→
L
,
a
0
+
a
1
τ
+
⋯
↦
a
0
{\displaystyle d:L\{\tau \}\to L,\,a_{0}+a_{1}\tau +\cdots \mapsto a_{0}}
ι
:
A
→
L
{\displaystyle \iota :A\to L}
A の像が L に入らないという条件は自明な場合を除くための非退化条件であり、条件
d
∘
ϕ
=
ι
{\displaystyle d\circ \phi =\iota }
ι
{\displaystyle \iota }
L {τ} は L の加法群の自己準同型からなると考えられるので、ドリンフェルト A 加群とは加法群 L への A の作用とみなすことができる。言い換えると、ドリンフェルト A 加群とは、A 加群であって加法群としては加法群 L であるもののことである。
A として位数 p の有限体 上の通常の多項式の（可換！）環 F p T ] を取る。言い換えると、A は種数 0 のアフィン曲線の座標環である。このとき、ドリンフェルト加群 ψ は T の像 ψ(T ) で決まり、これとしては L {τ} の任意の非定数元が取れる。したがってドリンフェルト加群全体は L {τ} の非定数元全体と同一視できる。種数が大きくなるとドリンフェルト加群の記述はもっと複雑になる。A として、先ほどと同様 F p T ] を取る。さらに、L としては適当な A を含む完備な代数的閉体を取る。このとき、ψ として ψ(T ) = T +τ をとったドリンフェルト加群 ψ のことをカーリッツ加群 という。これは、ドリンフェルト加群の一般的な定義ができる何十年も前、1935年にカーリッツ （英語版 ） ゴスの本の第3章 参照。「カーリッツ指数関数 （英語版 ）
X を有限体 F p スキーム （もしくはスタック）U 上の階数 r の（右）シトゥーカ とは、次のデータ
U ×X 上の階数 r の局所自由層 E , E′ と単射E → E′ ← (Fr×1)* E で、余核はある U から X への射（シトゥーカの零と極という。普通 0 と ∞ と書く）のグラフに台を持ち、台の上で階数 1 で局所自由になっているもののことをいう。ここで、(Fr×1)* E は U のフロベニウス自己準同型による E の引き戻しである。
左シトゥーカ も、射の向きを逆にしたものとして同じように定義される。シトゥーカの極と零が交わっていなければ、左シトゥーカと右シトゥーカ本質的に同じものである。
U を動かすことにより、階数 r のシトゥーカ全体の代数的スタック Shtukar と、Shtukar ×X 上の"普遍"シトゥーカと、Shtukar から X ×X への滑らかで相対次元 2r − 2 の射 (∞,0) が得られる。スタック Shtukar は r > 1 のときは有限型ではない。
定義からはすぐには分からないが、ドリンフェルト加群からシトゥーカを作る方法があるので、ドリンフェルト加群はある意味で特殊なシトゥーカになっている。このことはドリンフェルトによる(V.G.Drinfel'd 1977 ) の論文で示された。
関数体に対するラングランズ予想とは、（かなり単純化して言うと）GL n GL 2 l 進コホモロジーの中に見つけることで構築した。
ドリンフェルトは階数 r のシトゥーカのモジュライ空間を使って GL r
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Drinfeld, V. G. (1987), “Moduli varieties of F-sheaves” (ロシア語), Funktsional. Anal. i Prilozhen. 21 (2): 23-41 Goss, D. (2003), “What is a shtuka?” , Notices of the American Mathematical Society 50 (1), https://www.ams.org/notices/200301/what-is.pdf Kazhdan, David A. (1979), “An introduction to Drinfeld's Shtuka” , in Borel, Armand ; Casselman, W., Automorphic forms, representations and L-functions (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Part 2 , Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII, Providence, R.I.: American Mathematical Society , pp. 347-356, ISBN 978-0-8218-1437-6 , MR 546623 , https://www.ams.org/publications/online-books/pspum332-index
![{\displaystyle L[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ad481528cdf71b58ddc4e631b288d663701e3d1)
![{\displaystyle L[x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ea557863a9fa53af71f0ba05a55e35c4d9a927e)
![{\displaystyle F_{q}[t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a0ad016d0c5231fddcc5fa4cd56497b7e4f4b31)
