G 2 数学において，アフィンルート系 （英 : affine root system ）はユークリッド空間 上のアフィン線型写像 のルート系 である．それらはアフィンリー代数 や超代数，半単純 p -進代数群 の分類において用いられ，マクドナルド多項式 （英語版 ） カッツ・ムーディ代数 についての彼らの研究において用いられた．被約とは限らないアフィンルート系は Macdonald (1972) と Bruhat & Tits (1972) によって導入され分類された（これら2つの論文は誤ってディンキン図形
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アフィンルート系 A 1 = B 1 = B ∨ = C 1 = C ∨ B 2 = C 2 B ∨ = C ∨ A 3 = D 3
表で与えられている軌道の個数はワイル群の下での単純ルートの軌道の個数である．ディンキン図形 において，被約でない単純ルート α （で 2α がルートのもの）は緑色に塗られている．系列の最初のディンキン図形は他のと同じ規則に従わないことがある．
アフィンルート系
軌道の個数
ディンキン図形
A n n ≥ 1)2 if n = 1; 1 if n ≥ 2
B n n ≥ 3)2
B ∨n (n ≥ 3)2
C n n ≥ 2)3
C ∨n (n ≥ 2)3
BC n n ≥ 1)2 if n = 1; 3 if n ≥ 2
D n n ≥ 4)1
E 6 1
E 7 1
E 8 1
F 4 2
F ∨ 2
G 2 2
G ∨ 2
(BC n C n n ≥ 1)
3 if n = 1; 4 if n ≥ 2
(C ∨n , BC n n ≥ 1)
3 if n = 1; 4 if n ≥ 2
(B n B ∨n ) (n ≥ 2)
4 if n = 2; 3 if n ≥ 3
(C ∨n , C n n ≥ 1)
4 if n = 1; 5 if n ≥ 2
Rank 1 : A 1 , BC 1 , (BC 1 , C 1 ), (C ∨ , BC 1 ), (C ∨ , C 1 ).Rank 2 : A 2 , C 2 , C ∨ , BC 2 , (BC 2 , C 2 ), (C ∨ , BC 2 ), (B 2 , B ∨ ), (C ∨ , C 2 ), G 2 , G ∨ .Rank 3 : A 3 , B 3 , B ∨ , C 3 , C ∨ , BC 3 , (BC 3 , C 3 ), (C ∨ , BC 3 ), (B 3 , B ∨ ), (C ∨ , C 3 ).Rank 4 : A 4 , B 4 , B ∨ , C 4 , C ∨ , BC 4 , (BC 4 , C 4 ), (C ∨ , BC 4 ), (B 4 , B ∨ ), (C ∨ , C 4 ), D 4 , F 4 , F ∨ .Rank 5 : A 5 , B 5 , B ∨ , C 5 , C ∨ , BC 5 , (BC 5 , C 5 ), (C ∨ , BC 5 ), (B 5 , B ∨ ), (C ∨ , C 5 ), D 5 .Rank 6 : A 6 , B 6 , B ∨ , C 6 , C ∨ , BC 6 , (BC 6 , C 6 ), (C ∨ , BC 6 ), (B 6 , B ∨ ), (C ∨ , C 6 ), D 6 , E 6 ,Rank 7 : A 7 , B 7 , B ∨ , C 7 , C ∨ , BC 7 , (BC 7 , C 7 ), (C ∨ , BC 7 ), (B 7 , B ∨ ), (C ∨ , C 7 ), D 7 , E 7 ,Rank 8 : A 8 , B 8 , B ∨ , C 8 , C ∨ , BC 8 , (BC 8 , C 8 ), (C ∨ , BC 8 ), (B 8 , B ∨ ), (C ∨ , C 8 ), D 8 , E 8 ,Rank n (n >8) : A n B n B ∨n , C n C ∨n , BC n BC n C n C ∨n , BC n B n B ∨n ), (C ∨n , C n D n
Bruhat, F.; Tits, Jacques (1972), “Groupes réductifs sur un corps local” , Publications Mathématiques de l'IHÉS 41 : 5–251, doi :10.1007/bf02715544 , ISSN 1618-1913 , MR 0327923 , http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1972__41__5_0 Macdonald, I. G. (1972), “Affine root systems and Dedekind's η-function”, Inventiones Mathematicae 15 : 91–143, doi :10.1007/BF01418931 , ISSN 0020-9910 , MR 0357528 Macdonald, I. G. (2003), Affine Hecke algebras and orthogonal polynomials , Cambridge Tracts in Mathematics, 157 , Cambridge: Cambridge University Press, pp. x+175, doi :10.2277/0521824729 , ISBN 978-0-521-82472-9 , MR 1976581
