Teorema di Banach-Alaoglu

In matematica, teorema di Banach-Alaoglu o teorema di Banach-Alaoglu-Bourbaki è un risultato noto nell'ambito dell'analisi funzionale che afferma che, dato uno spazio di Banach separabile, ogni successione limitata nel suo duale ammette una sottosuccessione debolmente* convergente. Se si denota con ${\displaystyle X}$ lo spazio di Banach in questione, il teorema caratterizza la convergenza debole sul duale ${\displaystyle X^{*}}$, non testata su tutti gli elementi del biduale ${\displaystyle X^{**}}$ ma solo su quelli di ${\displaystyle \tau (X)}$, dove ${\displaystyle \tau }$ è la mappa canonica.

Prende il nome da Stefan Banach, Leonidas Alaoglu e Nicolas Bourbaki.

Il teorema di Bourbaki-Alaoglu generalizza il teorema al caso di topologie duali.

Il teorema

Sia ${\displaystyle X}$ uno spazio normato; il suo spazio duale ${\displaystyle X^{*}}$ è un altro esempio di spazio normato (con la norma operatoriale). Il teorema di Banach-Alaoglu stabilisce che la palla unitaria chiusa in ${\displaystyle X^{*}}$ è compatta rispetto alla topologia debole*.

Si tratta di una motivazione per avere diverse topologie su uno stesso spazio: la sfera unitaria nella topologia della norma è compatta se e solo se lo spazio è finito-dimensionale (si veda il lemma di Riesz).

Un caso speciale è la versione del teorema che utilizza la compattezza per successioni: la sfera unitaria chiusa di uno spazio normato separabile è sequenzialmente compatta nella topologia debole*. Infatti, la topologia debole* sulla sfera unitaria chiusa del duale di uno spazio separabile è metrizzabile, e quindi compattezza e compattezza sequenziale sono equivalenti. Nello specifico, sia ${\displaystyle X}$ uno spazio normato separabile e ${\displaystyle B}$ la sfera unitaria chiusa in ${\displaystyle X^{*}}$. Dato che ${\displaystyle X}$ è separabile, sia ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ un suo sottoinsieme numerabile denso. Allora si può definire una metrica:

${\displaystyle \rho (x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }\,2^{-n}\,{\frac {\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|}{1+\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|}},\qquad x,y\in B,}$

dove ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ indica l'accoppiamento duale tra ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle X^{*}}$. Con un argomento diagonale simile a quello utilizzato per provare il teorema di Ascoli-Arzelà si mostra che ${\displaystyle B}$ con tale metrica è sequenzialmente compatto.

La versione "per successioni" del teorema è utilizzata nell'ambito delle PDE per costruire soluzioni di problemi variazionali: ad esempio, un metodo spesso utilizzato per minimizzare un funzionale ${\displaystyle F:X^{*}\to {\mathbb {R} }}$ definito sul duale di uno spazio vettoriale normato separabile ${\displaystyle X}$ è quello di costruire una successione ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots \in X^{*}}$ che si avvicina all'estremo inferiore dei valori assunti da ${\displaystyle F}$, e utilizzare il teorema per estrarre una sottosuccessione convergente nella topologia debole* al limite ${\displaystyle x}$, che si assume un "minimizzatore".

Se ${\displaystyle X^{*}}$ è lo spazio delle misure di Radon sulla retta reale (in modo che ${\displaystyle X=C_{0}({\mathbb {R} })}$ è lo spazio delle funzioni continue che si annullano all'infinito per il teorema di rappresentazione di Riesz) il teorema nella versione per successioni è equivalente al teorema di Helly.

Dimostrazione

Per ogni ${\displaystyle x\in X}$, siano:

${\displaystyle D_{x}=\{z\in \mathbb {C} :\left|z\right|\leq \|x\|\},\qquad D=\Pi _{x\in X}D_{x}.}$

Dato che ogni ${\displaystyle D_{x}}$ è un sottoinsieme compatto del piano complesso, ${\displaystyle D}$ è compatto anche nella topologia prodotto per il teorema di Tychonoff. Si può identificare in modo naturale la sfera unitaria chiusa ${\displaystyle B_{1}(X^{*})}$ in ${\displaystyle X^{*}}$ come un sottoinsieme di ${\displaystyle D}$:

${\displaystyle f\in B_{1}\left(X^{*}\right)\mapsto (f(x))_{x\in X}\in D.}$

Si tratta di una mappa iniettiva e continua, di cui anche l'inversa (definita sull'immagine) è continua, con ${\displaystyle B_{1}(X^{*})}$ che possiede la topologia debole* e ${\displaystyle D}$ la topologia prodotto. Se si ha una rete:

${\displaystyle (f_{\alpha }(x))_{x\in X}\rightarrow (\lambda _{x})_{x\in X}}$

in ${\displaystyle D}$, allora il funzionale definito da

${\displaystyle g(x)=\lambda _{x}}$

è in ${\displaystyle B_{1}(X^{*})}$. Essendo l'immagine di ${\displaystyle B_{1}(X^{\star })}$ chiusa, il teorema è dimostrato.

Conseguenze

In uno spazio di dimensione finita, grazie al teorema di Bolzano-Weierstrass, da una successione limitata è sempre possibile estrarre una sottosuccessione convergente. Questa proprietà delle successioni limitate risulta utile per dimostrare alcuni teoremi fondamentali nell'analisi matematica. Purtroppo tale teorema non è più vero se lo spazio ha dimensione infinita. Ad esempio la successione dei versori nello spazio ${\displaystyle L^{\infty }}$ è limitata ma non ammette sottosuccessioni convergenti. Grazie al teorema di Banach-Alaoglu-Bourbaki la successione ammette per lo meno una sottosuccessione debolmente* convergente.

Generalizzazione

Il teorema di Bourbaki-Alaoglu è una generalizzazione che si deve a Nicolas Bourbaki per topologie duali. Dato uno spazio localmente convesso separabile ${\displaystyle X}$ avente duale continuo ${\displaystyle X'}$, l'insieme polare ${\displaystyle U^{0}}$ di ogni intorno ${\displaystyle U}$ in ${\displaystyle X}$ è compatto nella topologia debole ${\displaystyle \sigma (X',X)}$ su ${\displaystyle X'}$.

Bibliografia

• (EN) Haïm Brezis, Analisi funzionale, Napoli, Liguori, 2006.
• (EN) John B. Conway, A course in functional analysis, 2nd, Berlin, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-97245-5. Chapter 5, section 3.
• (EN) W. Rudin, Functional Analysis, 2nd, Boston, MA, McGraw-Hill, 1991, ISBN 0-07-054236-8. Section 3.15, p. 68.

Voci correlate

• Spazio di Banach
• Spazio duale
• Spazio normato
• Spazio separabile
• Topologia duale
• Topologia polare
• Topologia operatoriale