Teorema di Helly

In matematica, con teorema di Helly ci si riferisce a più teoremi dovuti a Eduard Helly. Due di essi riguardano l'analisi funzionale e il passaggio al limite sotto il segno di integrale di Stieltjes. Questi due risultati affermano insieme che una successione di funzioni che sia, localmente, a variazione totale limitata e uniformemente limitata in un punto, ammette una sottosuccessione convergente.

In altre parole, si ha un teorema di compattezza per lo spazio delle funzioni a variazione limitata ${\displaystyle BV_{loc}}$.

Primo teorema di Helly

Sia data una successione ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\geq 1}}$ di funzioni a variazione limitata su un intervallo ${\displaystyle [a,b]}$, convergenti puntualmente a una funzione ${\displaystyle f}$ e tali che le variazioni totali siano uniformemente limitate, ossia esiste ${\displaystyle C\geq 0}$ tale che:

${\displaystyle \sup _{n\geq 1}V_{a}^{b}[f_{n}]\leq C}$

Allora la funzione limite ${\displaystyle f}$ è a sua volta a variazione limitata, e, per ogni funzione continua ${\displaystyle g}$ si verifica:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}g(x)\,df_{n}(x)=\int _{a}^{b}g(x)\,df(x)}$

Secondo teorema di Helly

Da ogni insieme infinito ${\displaystyle M}$ di funzioni date su un intervallo chiuso e limitato ${\displaystyle [a,b]}$, uniformemente limitato nello spazio delle funzioni continue a variazione limitata, si può ricavare una sottosuccessione convergente in ogni punto dell'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$.

Generalizzazioni

Esistono diverse generalizzazione e varianti del teorema di Helly. Il seguente risultato, valido per funzioni a variazione limitata ambientate in spazi di Banach, si deve a Viorel Barbu e Teodor Precupanu.

Sia ${\displaystyle X}$ uno spazio di Hilbert riflessivo e separabile, e sia ${\displaystyle E}$ un sottoinsieme convesso di ${\displaystyle X}$. Detta ${\displaystyle \Delta :X\to [0,\infty )}$ una funzione omogenea di grado uno definita positiva, si supponga che ${\displaystyle z_{n}}$ è una successione uniformemente limitata in ${\displaystyle BV([0,T];X)}$ con ${\displaystyle z_{n}(t)\in E}$ per ogni ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ e ${\displaystyle t\in [0,T]}$. Allora esiste una sottosuccessione ${\displaystyle z_{n_{k}}}$ e una coppia di funzioni ${\displaystyle \delta ,z\in BV([0,T];X)}$ tali che:

${\displaystyle \int _{[0,t)}\Delta (\mathrm {d} z_{n_{k}})\to \delta (t)\qquad z_{n_{k}}(t)\rightharpoonup z(t)\in E}$

per ogni ${\displaystyle t\in [0,T]}$, e:

${\displaystyle \int _{[s,t)}\Delta (\mathrm {d} z)\leq \delta (t)-\delta (s)}$

per ogni ${\displaystyle 0\leq s<t\leq T}$.

Bibliografia

• (EN) V. Barbu e Precupanu, Th., Convexity and optimization in Banach spaces, Mathematics and its Applications (East European Series), vol. 10, Second Romanian Edition, Dordrecht, D. Reidel Publishing Co., 1986, xviii+397, ISBN 90-277-1761-3.

Voci correlate

• Funzione a variazione limitata
• Integrale di Stieltjes
• Limitatezza uniforme
• Sottosuccessione
• Successione di funzioni

Collegamenti esterni

• Paola Favro, Andreana Zucco - Appunti di geometria convessa (PDF), su dm.unito.it. URL consultato il 29 giugno 2014 (archiviato dall'url originale il 25 gennaio 2011).