Teorema dei numeri pentagonali

In matematica, il teorema dei numeri pentagonali stabilisce una relazione tra la rappresentazione in serie della funzione di Eulero e quella sotto forma di prodotto.

Il teorema stesso è dovuto a Eulero e si può considerare come un caso particolare del triplo prodotto di Jacobi.

Il teorema afferma che:

${\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }\left(1-x^{k}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(-1\right)^{n}x^{\left(3n^{2}-n\right)/2}=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left(-1\right)^{n}\left(x^{(3n^{2}+n)/2}+x^{(3n^{2}-n)/2}\right)}$

ossia, in altri termini:

${\displaystyle (1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\times \cdots =1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-\cdots }$

Il nome deriva dal fatto che gli esponenti 1, 2, 5, 7, 12, ... nel termine destro, della forma:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(3n^{2}-n\right)}$

sono numeri pentagonali generalizzati.

Se si considera la serie come serie di potenze il suo raggio di convergenza risulta uguale a 1.

Se si trascura la questione della convergenza, il teorema resta valido come affermazione in ordine alle serie formali di potenze.

Collegamenti esterni

• (EN) Eulero e il teorema dei numeri pentagonali, su front.math.ucdavis.edu. URL consultato il 17 novembre 2005 (archiviato dall'url originale il 22 aprile 2008).