Spettro essenziale

In matematica, lo spettro essenziale di un operatore limitato è un sottoinsieme dello spettro.

Operatori limitati

Sia ${\displaystyle X}$ uno spazio di Banach e ${\displaystyle T}$ un operatore limitato definito su ${\displaystyle X}$. In letteratura vi sono diverse definizioni di spettro essenziale, che non sono equivalenti tra loro (ma coincidono nel caso di un operatore autoaggiunto):

• Lo spettro essenziale ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess,1} }(T)}$ è l'insieme dei numeri ${\displaystyle \lambda }$ tali che ${\displaystyle \lambda I-T}$ non è un operatore semi-Fredholm, ovvero un operatore caratterizzato dal possedere nucleo o conucleo aventi dimensione finita e immagine chiusa.
• Lo spettro essenziale ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess,2} }(T)}$ è l'insieme dei numeri ${\displaystyle \lambda }$ tali che ${\displaystyle \lambda I-T}$ non ha immagine chiusa oppure il suo nucleo ha dimensione infinita.
• Lo spettro essenziale ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess,3} }(T)}$ è l'insieme dei numeri ${\displaystyle \lambda }$ tali che ${\displaystyle \lambda I-T}$ non è un operatore di Fredholm, ovvero un operatore caratterizzato dal possedere nucleo e conucleo aventi dimensione finita e immagine chiusa.
• Lo spettro essenziale ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess,4} }(T)}$ è l'insieme dei numeri ${\displaystyle \lambda }$ tali che ${\displaystyle \lambda I-T}$ non è un operatore di Fredholm tale che la dimensione del nucleo e del conucleo non siano coincidenti.
• Lo spettro essenziale ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess,5} }(T)}$ è l'unione di ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess,1} }(T)}$ e tutte le componenti di ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma _{\mathrm {ess,1} }(T)}$ che non intersecano l'insieme risolvente ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma (T)}$.

Lo spettro essenziale è sempre chiuso, indipendentemente dalla definizione usata, e si ha:

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(T)\subset \sigma (T)\subset \mathbf {C} }$

Il raggio spettrale dello spettro essenziale è dato da:

${\displaystyle r_{\mathrm {ess} ,k}(T)=\max\{|\lambda |:\lambda \in \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)\}}$

Lo spettro essenziale di un operatore ${\displaystyle T}$ è invariante se a ${\displaystyle T}$ si somma un operatore compatto per k = 1,2,3,4, ma non per k = 5. Il caso k = 4, in particolare, fornisce la parte di spettro che è indipendente dalla perturbazione di un operatore compatto:

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(T)=\bigcap _{K\in K(X)}\sigma (T+K)}$

dove ${\displaystyle K(X)}$ è l'insieme degli operatori compatti in ${\displaystyle X}$.

Operatori limitati autoaggiunti

Sia ${\displaystyle X}$ uno spazio di Hilbert e ${\displaystyle T}$ un operatore limitato autoaggiunto definito su ${\displaystyle X}$. Lo spettro essenziale ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} }(T)}$ di ${\displaystyle T}$ è l'insieme dei numeri complessi ${\displaystyle \lambda }$ tali che:

${\displaystyle \lambda \,I-T}$

non è un operatore di Fredholm. Si tratta sempre di un insieme chiuso che è un sottoinsieme dello spettro, in tal caso contenente solo valori reali data la natura dell'operatore considerato (autoaggiunto).

Se ${\displaystyle K}$ è un operatore compatto su ${\displaystyle X}$, allora lo spettro essenziale di ${\displaystyle T}$ e ${\displaystyle T+K}$ coincidono.

Il criterio di Weyl afferma che ${\displaystyle \lambda }$ è nello spettro di ${\displaystyle T}$ se esiste una successione ${\displaystyle \{\psi _{k}\}}$ in ${\displaystyle X}$ tale che ${\displaystyle \|\psi _{k}\|=1}$ e:

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left\|T\psi _{k}-\lambda \psi _{k}\right\|=0}$

mentre ${\displaystyle \lambda }$ è nello spettro essenziale se la successione ${\displaystyle \{\psi _{k}\}}$ non contiene nessuna sottosuccessione convergente (questo si verifica, ad esempio, se ${\displaystyle \{\psi _{k}\}}$ è ortonormale e tale successione viene detta successione singolare.

Il complementare dello spettro essenziale di ${\displaystyle T}$ è lo spettro discreto ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {discr} }(T)}$:

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {discr} }(T)=\sigma (T)\setminus \sigma _{\mathrm {ess} }(T)}$

e ${\displaystyle \lambda \in \sigma _{\mathrm {discr} }(T)}$ se è un autovalore isolato con molteplicità finita, ovvero la dimensione di:

${\displaystyle \{\psi \in X:T\psi =\lambda \psi \}}$

è finita e non nulla. Inoltre, esiste un ${\displaystyle \epsilon >0}$ tale che se e solo se ${\displaystyle \mu \in \sigma (T)}$ e ${\displaystyle |\mu -\lambda |<\epsilon }$ allora ${\displaystyle \mu =\lambda }$.

Bibliografia

• (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0125850506.
• (EN) D.E. Edmunds and W.D. Evans (1987), Spectral theory and differential operators, Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2.
• (DE) H. Weyl (1910), Über gewöhnliche Differentialgleichungen mit Singularitäten und die zugehörigen Entwicklungen willkürlicher Funktionen, Mathematische Annalen 68, 220–269.

Voci correlate

• Autovettore e autovalore
• Operatore autoaggiunto
• Operatore compatto
• Operatore di Fredholm
• Operatore limitato
• Operatore lineare continuo
• Shift unilaterale
• Spettro (matematica)
• Teorema spettrale
• Teoria spettrale