La radice quadrata di due è uguale all'ipotenusa di un triangolo rettangolo di cateti lunghi uno
In matematica, la radice quadrata di due (), conosciuta anche come costante di Pitagora, è il numero reale che si ottiene come risultato dell'operazione di estrazione della radice quadrata dal numero naturale2, o, in modo equivalente, il numero positivo che moltiplicato per sé stesso dà esito 2.
I babilonesi diedero la prima approssimazione di , tramite
Un'altra approssimazione di questo numero è quella data da un antico testo matematico indiano, il Sulbasutras, che cita:
«Aumenta la lunghezza [del lato] della sua terza parte, poi aggiungi la sua dodicesima parte, infine sottrai un trentaquattresimo della sua dodicesima parte»
Ossia
Questa antica approssimazione indiana è la settima nella serie di sempre più accurate approssimazioni basate sui numeri di Pell, che possono essere ricavate dalla frazione continua di .
La dimostrazione dell'irrazionalità della radice di 2 viene spesso attribuita al greco Ippasos, filosofo e matematico della scuola pitagorica.
Algoritmi computazionali
Esiste una gran quantità di algoritmi atti a calcolare le cifre di , tuttavia il più usato dai calcolatori è ancora il vecchio metodo babilonese di calcolo delle radici: si scelga un qualunque valore iniziale ; poi, utilizzandolo come primo valore, iterare la seguente funzione ricorsiva:
Maggiore è il numero di iterazioni, migliore sarà la precisione del risultato. Nel febbraio 2006 utilizzando questo metodo sono state calcolate 200 000 000 000 cifre in 13 giorni e 14 ore. Tra le costanti matematiche irrazionali non periodiche, solo π è stata calcolata con maggior precisione.
Prove dell'irrazionalità
Dimostrazione per assurdo
Si supponga per assurdo che sia razionale, ossia che sia possibile esprimerlo sotto forma di frazione , che si assume irriducibile:
dalla quale si ottiene
ossia
Il termine è pari, pertanto anche è pari, e conseguentemente stesso dev'essere pari (il quadrato di un numero dispari è sempre dispari), quindi esiste un opportuno tale per cui . Sostituendo, si ottiene:
che, sviluppando il quadrato, semplificando e dividendo per diventa
Con identico ragionamento, essendo ora pari si deduce che anche , e quindi stesso, siano a loro volta pari.
Sia che risultano pertanto essere pari, il che contraddice l'ipotesi iniziale che sia irriducibile. Se ne conclude che non è esprimibile sotto forma di frazione, ossia è irrazionale.
Dimostrazione con il teorema fondamentale dell'aritmetica
Una dimostrazione alternativa si basa sul teorema fondamentale dell'aritmetica. Innanzitutto si ipotizza che sia razionale. Da qui consegue che (vedere dimostrazione precedente)
Ma, dal teorema fondamentale dell'aritmetica, e hanno una fattorizzazione diversa, tale che e con e interi positivi e e interi positivi dispari. Da qui otteniamo che
e
Sostituendo nella prima formula:
dalla quale, operando a destra:
Ciò comporta che una fattorizzazione di 2 con potenza pari ( è certamente pari) è uguale a una fattorizzazione di 2 con potenza dispari Questo contraddice il teorema fondamentale dell'aritmetica, e quindi, per assurdo, è dimostrato che è irrazionale.
Dimostrazione analitica
Lemma 1: sia e tali che per ogni e
allora è irrazionale.
Dimostrazione: supponiamo con .
Per sufficientemente grande avremo
quindi
ma, essendo un intero, ciò è assurdo, da cui è irrazionale.
è irrazionale.
Dimostrazione: poniamo e
per ogni .
Dimostramo per induzione che vale
per ogni . La tesi vale per , infatti
e se vale per allora vale per poiché
Infine applicando il lemma 1 segue l'irrazionalità di .
Dimostrazione con i numeri 2-adici
Consideriamo l'equazione su (il campo dei numeri 2-adici), essa non ha soluzione poiché la valutazione p-adica del primo membro è pari mentre quella del secondo membro è dispari. D'altra parte è un'estensione di , quindi se l'equazione non ha soluzioni in non ha neanche soluzioni in e è irrazionale.
Proprietà
La metà di , uguale circa a è un numero comune in geometria e trigonometria, poiché le coordinate del versore che forma un angolo di 45º con gli assi di un piano cartesiano ortogonale sono
Questo numero è comune inoltre poiché
Un'altra proprietà è che:
Inoltre
Infine può essere espressa utilizzando l'unità immaginaria utilizzando unicamente radici:
Rappresentazioni tramite serie e prodotti
L'identità
insieme alle rappresentazioni tramite prodotti infiniti delle funzioni seno e coseno consentono di ricavare formule quali
Il valore è approssimativamente il rapporto che intercorre fra il lato più corto e quello più lungo di un foglio di carta in uno dei formati previsti dello standard ISO 216, meglio noto come formati UNI. Questo rapporto garantisce che, tagliando un foglio a metà lungo la linea che unisce i due punti medi dei lati più lunghi, si ottengono due fogli più piccoli che mantengono lo stesso rapporto fra i lati.
Inoltre, se il foglio di partenza è in uno dei formati previsti dallo standard, anche i due fogli ottenuti tagliandolo a metà sono in formato standard. Il codice del formato dei due fogli più piccoli si ottiene aggiungendo 1 alla cifra del codice del foglio grande di partenza. Ad esempio, se si taglia a metà un foglio in formato A4 (210 × 297 mm, il formato della comune carta da lettere), si ottengono due fogli in formato A5 (148 × 210 mm, il formato di un volantino).