Polinomio trigonometrico

In matematica, un polinomio trigonometrico è una combinazione lineare finita di funzioni ${\displaystyle \sin(nx)}$ e ${\displaystyle \cos(nx)}$ per alcuni valori di ${\displaystyle n}$ interi non negativi. Una serie di Fourier troncata è un polinomio trigonometrico.

I polinomi trigonometrici sono usati, per esempio, nell'interpolazione trigonometrica usata per interpolare funzioni periodiche e nella trasformata di Fourier discreta.

Il termine polinomio trigonometrico deriva dall'analogia dell'uso delle funzioni ${\displaystyle \sin(nx)}$ e ${\displaystyle \cos(nx)}$ a una base di monomi per i polinomi.

Definizione formale

Una funzione ${\displaystyle T}$ della forma

${\displaystyle T(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+i\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx)\qquad (x\in \mathbb {R} ),}$

con ${\displaystyle a_{n},b_{n}\in \mathbb {C} }$ per ${\displaystyle n=0,\ldots ,N}$ e almeno uno tra ${\displaystyle a_{N}}$ e ${\displaystyle b_{N}}$ diverso da zero, è detta polinomio trigonometrico complesso di grado ${\displaystyle N}$. Usando la formula di Eulero il polinomio può essere riscritto come

${\displaystyle T(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{inx}\qquad (x\in \mathbb {R} ).}$

Analogamente, se ${\displaystyle a_{n},b_{n}\in \mathbb {R} }$ per ${\displaystyle n=0,\ldots ,N}$ e almeno uno tra ${\displaystyle a_{N}}$ e ${\displaystyle b_{N}}$ diverso da zero, la funzione

${\displaystyle t(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx)\qquad (x\in \mathbb {R} ),}$

è detta polinomio trigonometrico reale di grado ${\displaystyle N}$.

Proprietà

• Un polinomio trigonometrico di grado ${\displaystyle N}$ può essere considerato come una funzione periodica sulla retta reale con periodo un divisore di ${\displaystyle 2\pi }$ o come una funzione (non periodica) sul cerchio unitario.

• Un polinomio trigonometrico non identicamente nullo di grado ${\displaystyle N}$ ha al massimo ${\displaystyle 2N}$ radici in ogni intervallo ${\displaystyle [a,a+2\pi )}$ per ogni ${\displaystyle a}$ reale.

• L'insieme dei polinomi trigonometrici è denso nello spazio delle funzioni continue sul cerchio unitario con la norma uniforme. Questo è un caso speciale del teorema di Stone-Weierstrass. Più precisamente: per ogni funzione continua ${\displaystyle f}$ e per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$ esiste un polinomio trigonometrico ${\displaystyle T}$ tale che ${\displaystyle |f(x)-T(x)|<\varepsilon }$ per ogni ${\displaystyle x}$.

• Il teorema di Fejér afferma che la media aritmetica delle somme parziali della serie di Fourier di una funzione ${\displaystyle f}$ converge uniformemente a ${\displaystyle f}$.

Bibliografia

• (EN) Walter Rudin, Real and complex analysis, New York, McGraw-Hill, 1987, ISBN 978-0-07-054234-1.

Voci correlate

• Funzioni trigonometriche
• Serie di Fourier
• Trasformata discreta di Fourier