Polilogaritmo

In matematica, il polilogaritmo è una funzione speciale che generalizza il logaritmo. Dato un numero complesso, si definisce la funzione polilogaritmo di ordine s e argomento (complesso) z la serie di potenze

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{s}}}=z+{\frac {z^{2}}{2^{s}}}+{\frac {z^{3}}{3^{s}}}+\dots }$

se per ogni ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ tale che ${\displaystyle |z|<1}$. Essa può essere estesa a una funzione definita su tutto ${\displaystyle \mathbb {C} }$ tramite il prolungamento analitico.

Per ${\displaystyle s=1}$ il polilogaritmo coincide col classico logaritmo

${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k}}=-\ln(1-z)}$

Per ${\displaystyle s=2}$ il polilogaritmo è anche chiamato dilogaritmo e per ${\displaystyle s=3}$ trilogaritmo. Per valori di s interi non positivi il polilogaritmo è una funzione razionale.

Il nome deriva dal fatto che il polilogaritmo può essere definito mediante la ripetizione dell'integrale

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s+1}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Li} _{s}(t)}{t}}\,\mathrm {d} t\,;}$

quindi il dilogaritmo è l'integrale del logaritmo e così via.

Proprietà

Una formula importante dovuta a Eulero è

${\displaystyle {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}-\ln(z)\ln(1-z)=\operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1-z)}}$

Per ${\displaystyle z\in [0,1]}$ essa permette di trovare il valore del dilogaritmo di ${\displaystyle 1/2}$:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{12}}-{\frac {\ln ^{2}(2)}{2}}}$

L'integrale di Spence è un caso particolare del dilogaritmo. Esistono anche relazioni del dilogaritmo con le funzioni di Debye (vedi Abramowitz e Stegun).

Se ${\displaystyle z=1}$, per ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$ la funzione polilogaritmo di ordine ${\displaystyle s}$ si riduce alla funzione zeta di Riemann in ${\displaystyle s}$:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(1)=\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {1}{k^{s}}}=\zeta (s)}$

Il polilogaritmo può anche essere scritto in termini di integrale della distribuzione di Bose-Einstein nel seguente modo:è

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {t^{s-1}}{\displaystyle {\frac {e^{t}}{z}}-1}}\,\mathrm {d} t}$

dove ${\displaystyle \Gamma (s)}$ è la funzione Gamma di Eulero. Esso converge per ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$ e per ogni ${\displaystyle z}$ eccetto gli ${\displaystyle z\in \mathbb {R} }$ minori di ${\displaystyle -1}$. Questa rappresentazione permette di calcolare il valore di integrali del tipo

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {x^{n}}{e^{x}-1}}\,dx=\Gamma (n+1)\zeta (n+1)}$

Casi particolari

${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)=-\ln(1-z)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{0}(z)={z \over 1-z}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-1}(z)={z \over (1-z)^{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-2}(z)={z\,(1+z) \over (1-z)^{3}}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-3}(z)={z\,(1+4z+z^{2}) \over (1-z)^{4}}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-4}(z)={z\,(1+z)(1+10z+z^{2}) \over (1-z)^{5}}\,.}$

Galleria d'immagini

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  ${\displaystyle \operatorname {Li} _{-3}(z)}$
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  ${\displaystyle \operatorname {Li} _{-2}(z)}$
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  ${\displaystyle \operatorname {Li} _{-1}(z)}$
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  ${\displaystyle \operatorname {Li} _{0}(z)}$
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  ${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)}$
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  ${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)}$
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  ${\displaystyle \operatorname {Li} _{3}(z)}$

Bibliografia

• Jonquière, A. Note sur la série ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n^{s}}}}$. Bulletin de la Société Mathématique de France, 17 (1889), p. 142-152
• Lewin, L. Dilogarithms and Associated Functions. London: Macdonald, 1958.
• Lewin, L. Polylogarithms and Associated Functions. New York: North-Holland, 1981.
• Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: Krieger, pp. 30–31, 1981.
• Abramowitz, M. e Stegun, I. Handbook of Mathematical Functions. p. 1004 New York, Dover, 1972.

Voci correlate

• Logaritmo
• Analisi complessa
• Funzione speciale
• Funzione zeta di Riemann
• Funzione zeta di Hurwitz
• Funzione eta di Dirichlet
• Funzione trascendente di Lerch
• Polinomio di Bernoulli
• Statistica di Bose-Einstein
• Statistica di Fermi-Dirac

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Collegamenti esterni

• Wolfram function site
  • Dilogaritmo, su functions.wolfram.com.
  • Polilogaritmo, su functions.wolfram.com.
• Wolfram Mathworld polilogaritmo