Osservabilità

Nella teoria del controllo, la proprietà di osservabilità di un sistema dinamico determina la possibilità di risalire allo stato del sistema a partire dalla conoscenza delle sue uscite. Osservabilità e controllabilità sono generalmente due caratteristiche legate fra loro; in particolare, nei sistemi dinamici lineari stazionari sono matematicamente duali.

Sistemi dinamici lineari

Un sistema si dice osservabile se, per qualunque combinazione possibile di stati e ingressi, lo stato corrente può essere determinato in tempo finito attraverso le uscite del sistema. In altri termini, se un sistema è completamente osservabile significa che lo spazio delle fasi è sufficientemente grande da contenere tutti gli stati possibili.

Per i sistemi dinamici lineari tempo invarianti:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)}$

se lo stato ${\textstyle \mathbf {x} }$ ha dimensione ${\displaystyle n}$ ed il rango della matrice di osservabilità:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^{2}\\\vdots \\CA^{n-1}\end{bmatrix}}}$

è pieno, ovvero uguale a ${\displaystyle n}$, il sistema è osservabile. Si nota che, in altri termini, se ${\displaystyle n}$ righe sono linearmente indipendenti allora ognuno degli ${\displaystyle n}$ stati è osservabile attraverso combinazioni lineari delle variabili di uscita ${\displaystyle y(k)}$. Un modulo progettato per misurare lo stato di un sistema dalla misurazione delle uscite viene chiamato un osservatore di stato o semplicemente "osservatore" per quel sistema.

Si definisce inoltre l'indice di osservabilità di un sistema LTI come il più piccolo numero naturale ${\displaystyle v}$ per cui vale ${\displaystyle rank{(O_{v})}=rank{(O_{v+1})}}$, dove:

${\displaystyle O_{v}=[C\quad CA\quad CA^{2}\quad \dots \quad CA^{v-1}]^{T}}$

Per i sistemi LTI osservabilità e controllabilità sono proprietà duali; nello specifico si definisce il sistema duale:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A^{T}\mathbf {x} (t)+C^{T}\mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=B^{T}\mathbf {x} (t)}$

e si verifica che il sistema originale è completamente osservabile se e solo se il sistema duale è completamente controllabile, ed è completamente controllabile se e solo se il sistema duale è completamente osservabile.

Bibliografia

• (EN) Roger W. Brockett, Finite Dimensional Linear Systems, John Wiley & Sons, 1970, ISBN 978-0-471-10585-5.

Voci correlate

• Controllabilità
• Sistema dinamico
• Sistema dinamico lineare
• Sistema dinamico lineare stazionario
• Matrice gramiana di osservabilità

Collegamenti esterni

• (EN) Stanley G.M. and Mah, R.S.H., "Observability and Redundancy in Process Data Estimation, Chem. Engng. Sci. 36, 259 (1981) (PDF), su gregstanleyandassociates.com. URL consultato il 7 settembre 2015 (archiviato dall'url originale il 26 gennaio 2020).
• (EN) Stanley G.M., and Mah R.S.H., "Observability and Redundancy Classification in Process Networks", Chem. Engng. Sci. 36, 1941 (1981) (PDF), su gregstanleyandassociates.com.
• (EN) Observability su PlanetMath
• (EN) Control Systems - Controllability and Observability (PDF), su faculty.uml.edu. URL consultato il 7 settembre 2015 (archiviato dall'url originale il 4 marzo 2016).

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