Dalle relazioni precedenti si ricava semplicemente che gli autovalori delle tre matrici di Pauli sono .
Le tre matrici così definite, con l'aggiunta dell'identità, formano un insieme completo di matrici, ovvero una base dello spazio delle matrici 2×2 hermitiane:
Le matrici di Pauli sono proporzionali ai generatori del gruppo SU(2), la cui corrispondente algebra di Lie risulta essere isomorfa all'algebra di Lie del gruppo SO(3) delle rotazioni.
Dato un gruppo di Lie ed il suo corrispondente gruppo coprente , ogni rappresentazione proiettiva (unitaria) di induce una rappresentazione proiettiva (unitaria) di
Sia, quindi, , un elemento di SO(3), con e rispettivamente angolo ed asse di rotazione. Sia, inoltre, una rappresentazione di in SU(2) per spin semi-intero:
dove
Si verifica che è una rappresentazione proiettiva di SU(2), e quindi di SO(3), con moltiplicatore :
e quindi le matrici di Pauli possono essere utilizzate per descrivere l'osservabilespin per una particella fermionica.
Informatica quantistica
In informatica quantistica, le matrici di Pauli sono porte logiche quantistiche agenti sui qubit e sono tra i più importanti operatori a singolo qubit. In questo contesto, la decomposizione di Cartan enunciata sopra è chiamata la "decomposizione Z-Y di una porta logica a singolo qubit". Scegliendo una differente coppia di Cartan si può ottenere l'analoga "decomposizione X-Y di una porta logica a singolo qubit".