Matrice gramiana di controllabilità

In teoria del controllo, la matrice gramiana di controllabilità è una matrice di Gram usata per determinare se un sistema dinamico è controllabile. Per un sistema lineare invariante rispetto al tempo

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+Bu}$

la gramiana di controllabilità è definita come

${\displaystyle W_{c}(t)=\int \limits _{0}^{t}e^{-A\tau }BB^{T}e^{-A^{T}\tau }d\tau =\int \limits _{0}^{t}e^{A(t-\tau )}BB^{T}e^{A^{T}(t-\tau )}d\tau }$

La coppia ${\displaystyle (A,B)}$ è controllabile se e solo se[1] la matrice ${\displaystyle W_{c}}$ è non singolare, cioè ${\displaystyle W_{c}}$ ha rango pieno per ogni ${\displaystyle t>0}$. È inoltre possibile provare che se la matrice ${\displaystyle A}$ è di Hurwitz, la soluzione dell'equazione di Sylvester, se esiste, è proprio ${\displaystyle W_{c}}$.

La definizione può essere estesa ai sistemi tempo varianti. Il sistema

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)}$,

è controllabile in un intervallo ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$ se e solo se le righe della matrice ${\displaystyle \Phi (t_{0},\tau )B(\tau )}$, dove ${\displaystyle \Phi }$ è la matrice di transizione di stato, sono linearmente indipendenti. La gramiana può essere usata proprio per provare questo. Si ha indipendenza lineare se e solo se la matrice gramiana di controllabilità

${\displaystyle W_{c}(t)=\int \limits _{t_{0}}^{t}\Phi (t_{0},\tau )B(\tau )B^{T}(\tau )\Phi ^{T}(t_{0},\tau )d\tau }$

è non singolare, cioè invertibile.

Note

1. Gramian controllability Archiviato il 10 dicembre 2012 in Archive.is. Lecture notes to ECE 521 Modern Systems Theory by Professor A. Manitius, ECE Department, George Mason University.

Voci correlate

• Matrice gramiana di osservabilità
• Matrice di Gram
• Controllabilità