Al-Dawsari ha iniziato la sua carriera nell'Al-Qadisiya, firmando il primo contratto da professionista il 27 maggio 2018.[1] Il 29 agosto 2019 rinnova il suo contratto con la società fino al 30 giugno 2024.[2]
Il 7 agosto 2021 diventa ufficialmente un nuovo giocatore dell'Al-Hilal siglando un contratto quinquennale.[3]
Il 30 gennaio 2022 va in prestito fino a fine stagione all'Al-Fateh, viste le sue poche presenze con l'Al-Hilal in stagione sinora.[4]