Vinse tre medaglie all'Olimpiade di Seul 1988.
La quindicenne Meissner trionfò con le staffette veloci della Germania Est (4x100 m sl e 4x100 m mista), e riuscì a conquistare un bronzo individuale nei 50 m sl.
Nel suo palmarès vi è anche un titolo mondiale a Fukuoka nel 2001 con la staffetta 4x100 m sl. Vinse poi numerose altre medaglie, sia mondiali che europee, soprattutto in staffetta (ottenne solo una medaglia d'oro individuale nel 1989 ai Campionati europei di Bonn nei 100 m sl).
Nuotatrice molto longeva, ottenne le sue ultime medaglie nel 2003 ai mondiali di Barcellona e agli europei in vasca corta a Dublino.