Istantone

In fisica teorica e in fisica matematica, un istantone (o pseudoparticella[1][2][3]) è una soluzione classica delle equazioni del moto con un'azione finita e non nulla, o in meccanica quantistica o in teoria quantistica dei campi. Più precisamente, è una soluzione delle equazioni del moto di una teoria classica dei campi su uno spaziotempo euclideo.[4]

Nelle teorie quantistiche di questo tipo, le soluzioni del moto possono essere pensate come i punti critici dell'azione. Tali punti critici possono essere massimi o minimi locali, o punti di sella. Gli istantoni sono importanti nella teoria quantistica dei campi perché compaiono nell'integrale sui cammini come le prime correzioni quantistiche al comportamento classico del sistema, e possono essere usati per studiare il comportamento di tunnel in vari sistemi come le teorie di Yang-Mills.

Calcolo

Se supponiamo che esistano soluzioni delle equazioni del moto dell'azione di Yang-Mills con azione finita, allora la curvatura della soluzione all'infinito (presa come limite) deve essere zero. Questo significa che l'invariante di Chern-Simons può essere definita in uno spazio tridimensionale.

Questo equivale, grazie al teorema di Stokes, a prendere l'integrale

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{4}}Tr[\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]}$.

Questa è un invariante omotopico e ci dice a quale classe di omotopia appartiene l'istantone. L'azione di Yang-Mills è data da:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}Tr[*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]}$

dove * è il duale di Hodge.

Poiché l'integrale di un integrando non negativo è sempre non negativo,

${\displaystyle 0\leq {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}Tr[(*\mathbf {F} +e^{-i\theta }\mathbf {F} )\wedge (\mathbf {F} +e^{i\theta }*\mathbf {F} )]=\int _{\mathbb {R} ^{4}}Tr[*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} +2\cos \theta \mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]}$

per tutti i θ reali. Questo significa:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}Tr[*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]\geq {\frac {1}{2}}\left|\int _{\mathbb {R} ^{4}}Tr[\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]\right|}$

Se questo legame viene saturato, allora la soluzione è uno stato BPS. Per tali stati, si ha *F=F oppure *F=-F dipendentemente dal segno dell'invariante omotopico.

Note

1. Instantons in Gauge Theories. Edited by Mikhail A. Shifman. World Scientific, 1994.
2. Interactions Between Charged Particles in a Magnetic Field. By Hrachya Nersisyan, Christian Toepffer, Günter Zwicknagel. Springer, Apr 19, 2007. Pg 23
3. Large-Order Behaviour of Perturbation Theory. Edited by J.C. Le Guillou, J. Zinn-Justin. Elsevier, Dec 2, 2012. Pg. 170.
4. (EN) A. I. Vaĭnshteĭn, Valentin I. Zakharov, Viktor A. Novikov e Mikhail A. Shifman, ABC of instantons, in Soviet Physics Uspekhi, vol. 25, n. 4, 30 aprile 1982, DOI:10.1070/PU1982v025n04ABEH004533, ISSN 0038-5670 (WC · ACNP).

Bibliografia

• (EN) T. Schaefer ed E. Shuryak Instantons in QCD Rev. Mod. Phys. 70 (1998) 323-426.
• (EN) G. Landi Deconstructing Monopoles and Instantons Rev. Math. Phys. 12 (2000) 1367-1390.
• (EN) H. Forkel A Primer on Instantons in QCD, lectures given at the 12th Workshop on Hadronic Interactions at the IF/UERJ, Rio de Janeiro (31. 5. - 2. 6. 2000)
• (EN) M. Jardim Instantons: Topological aspects, Enclyclopedia of Mathematical Physics 2 (2006) 44-50.
• (EN) S. Vandoren, P. van Nieuwenhuizen Lectures on instantons