Intero di Eisenstein

Interi di Eisenstein come punti di intersezione di un reticolo triangolare nel piano complesso

In matematica, un intero di Eisenstein, dal nome del matematico Ferdinand Eisenstein, è un numero complesso della forma:

${\displaystyle z=a+b\omega ,}$

dove a e b sono numeri interi e

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{2\pi i/3}}$

è una radice cubica dell'unità. Gli interi di Eisenstein formano un reticolo triangolare nel piano complesso, a differenza degli interi gaussiani che formano un reticolo rettangolare nel piano complesso.

Proprietà

Gli interi di Eisenstein formano un anello commutativo di numeri algebrici nel campo dei numeri algebrici Q(√−3). Essi formano anche un dominio Euclideo.

Per vedere che gli interi di Eisenstein sono interi algebrici si noti che ogni z = a + bω è una radice del polinomio monico

${\displaystyle z^{2}-(2a-b)z+(a^{2}-ab+b^{2}).}$

In particolare, ${\displaystyle \omega }$ soddisfa l'equazione

${\displaystyle \omega ^{2}+\omega +1=0.}$

Il gruppo delle unità nell'anello degli interi di Eisenstein è un gruppo ciclico formato dalle radici dell'unità seste nel piano complesso. In particolare esse sono:

${\displaystyle \{\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}\}.}$

Questi interi di Eisenstein sono gli unici con valore assoluto unitario.

Il prodotto di due interi di Eisenstein (a + bω) per (c + dω) si scrive esplicitamente come

${\displaystyle (a+b\omega )\cdot (c+d\omega )=(ac-bd)+(bc+ad-bd)\omega .}$

La norma di un intero di Eisenstein è semplicemente il quadrato del suo modulo, ed è data da

${\displaystyle {|a+b\omega |}^{2}=a^{2}-ab+b^{2}={\tfrac {1}{4}}({(2a{-}b)}^{2}+3b^{2}),}$

Il coniugato di ${\displaystyle \omega }$ soddisfa la relazione

${\displaystyle {\bar {\omega }}=\omega ^{2}.}$

Numeri primi di Eisenstein

Se x e y sono interi di Eisenstein, si dice che x divide y se esiste un intero di Eisenstein z tale che

${\displaystyle y=zx.}$

Questo estende la nozione di divisibilità per i numeri interi ordinari. Inoltre si può estendere la nozione di primalità; un intero di Eisenstein non unitario x è un primo di Eisentein se i suoi unici divisori sono nella forma ux e u dove u è una qualunque delle sei unità.

Si può dimostrare che un numero primo ordinario (o primo razionale) della forma ${\displaystyle x^{2}-xy+y^{2}}$ può essere fattorizzato in ${\displaystyle (x+\omega y)(x+\omega ^{2}y)}$ e quindi non primo negli interi di Eisentein. Inoltre, un numero della forma x^2 − xy + y^2 è un primo razionale se e solo se x + ωy è un primo di Eisentein.

Dominio Euclideo

L'anello degli interi di Eisenstein forma un dominio Euclideo la cui norma v è

${\displaystyle v(a+\omega b)=a^{2}-ab+b^{2}.}$

Questo può essere dimostrato immergendo gli interi di Eisenstein nei numeri complessi: poiché

${\displaystyle v(a+ib)=a^{2}+b^{2}}$

e poiché

${\displaystyle a+\omega b=\left(a-{1 \over 2}b\right)+i{{\sqrt {3}} \over 2}b}$

segue che

${\displaystyle v(a+\omega b)=\left(a-{1 \over 2}b\right)^{2}+{3 \over 4}b^{2}=a^{2}-ab+{1 \over 4}b^{2}+{3 \over 4}b^{2}=a^{2}-ab+b^{2}.}$

Voci correlate

• Anello di Kummer
• Intero di Gauss
• Numero primo di Eisenstein

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Intero di Eisenstein, su MathWorld, Wolfram Research.