Integrale di Borwein

Nella matematica, un integrale di Borwein è un integrale che coinvolge prodotti di ${\displaystyle \mathrm {sinc} (ax)}$, dove la funzione sinc è data da ${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$ per ${\displaystyle x\neq 0}$, e ${\displaystyle \mathrm {sinc} (0)=1}$.[1][2]

Questi integrali sono importanti per esibire schemi apparenti che, tuttavia, alla fine falliscono. Un esempio è ciò che segue,

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}$

Questo schema continua fino a

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$

Tuttavia, al passo successivo lo schema evidente fallisce,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&\simeq {\frac {\pi }{2}}-2.31\times 10^{-11}.\end{aligned}}}$

In generale, integrali analoghi valgono ${\displaystyle \pi /2}$ ogni qualvolta che ${\displaystyle 3,5,7,\ldots }$ siano sostituiti da numeri reali positivi tali che la somma dei loro reciproci sia strettamente minore di 1.

Nell'esempio precedente, ${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\ldots +{\frac {1}{13}}<1}$, ma ${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\ldots +{\frac {1}{15}}>1}$.

L'esempio con una serie più estesa

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}\,dx={\frac {\pi }{2}},}$

con tuttavia

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}{\frac {\sin(x/113)}{x/113}}\,dx<{\frac {\pi }{2}},}$

è mostrato in [3] insieme a una spiegazione matematica intuitiva del motivo per cui nella serie originale e in quella estesa lo schema fallisce. In questo caso, ${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\ldots +{\frac {1}{111}}<2}$, ma ${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\ldots +{\frac {1}{113}}>2}$.

Formula generale

Data una sequenza di numeri reali, ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots }$, si può fornire una formula generale per l'integrale [1]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,dx}$

Per affermare la formula, serve considerare delle somme che coinvolgono ${\displaystyle a_{k}}$. In particolare, se ${\displaystyle \gamma =(\gamma _{1},\gamma _{2},\ldots ,\gamma _{n})\in \{\pm 1\}^{n}}$ è una ${\displaystyle n}$-vettore dove ogni elemento è ${\displaystyle \pm 1}$, allora si scrive ${\displaystyle b_{\gamma }=a_{0}+\gamma _{1}a_{1}+\gamma _{2}a_{2}+\cdots +\gamma _{n}a_{n}}$, che è una specie di somma alternata dei primi ${\displaystyle a_{k}}$, e si imposta ${\displaystyle \varepsilon _{\gamma }=\gamma _{1}\gamma _{2}\cdots \gamma _{n}}$, che è anch'esso ${\displaystyle \pm 1}$. Con questa notazione, il valore dell'integrale di sopra è

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,dx={\frac {\pi }{2a_{0}}}C_{n}}$

dove

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{2^{n}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}\sum _{\gamma \in \{\pm 1\}^{n}}\varepsilon _{\gamma }b_{\gamma }^{n}\operatorname {sgn}(b_{\gamma })}$

Nel caso in cui ${\displaystyle a_{0}>|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|}$, si ha ${\displaystyle C_{n}=1}$.

Inoltre, se esiste un ${\displaystyle n}$ tale che per ogni ${\displaystyle k=0,\ldots ,n-1}$ si ha ${\displaystyle 0<a_{n}<2a_{k}}$ e ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}<a_{0}<a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}$, cioè che ${\displaystyle n}$ è il primo valore per cui la somma dei primi ${\displaystyle n}$ elementi della sequenza supera ${\displaystyle a_{0}}$, allora ${\displaystyle C_{k}=1}$ per ogni ${\displaystyle k=0,\ldots ,n-1}$ ma

${\displaystyle C_{n}=1-{\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}-a_{0})^{n}}{2^{n-1}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}}$

Il primo esempio è il caso in cui ${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{2k+1}}}$. Da notare che se ${\displaystyle n=7}$ allora ${\displaystyle a_{7}={\frac {1}{15}}}$ e ${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\approx 0.955}$ ma ${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{15}}\approx 1.02}$, quindi poiché ${\displaystyle a_{0}=1}$, si ottiene

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}$

che rimane vera se si toglie qualunque fattore, tuttavia

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx\\[5pt]={}&{\frac {\pi }{2}}\left(1-{\frac {(3^{-1}+5^{-1}+7^{-1}+9^{-1}+11^{-1}+13^{-1}+15^{-1}-1)^{7}}{2^{6}\cdot 7!\cdot (1/3\cdot 1/5\cdot 1/7\cdot 1/9\cdot 1/11\cdot 1/13\cdot 1/15)}}\right)\end{aligned}}}$

che è uguale al valore dato precedentemente.

Bug di Maple

Fu schedato come bug per il supporto Maple. Ci sono voluti tre giorni allo sviluppatore Jacques Carette per capire che non fosse un errore [4].

Note

1. Borwein, David; Borwein, Jonathan M. (2001), "Some remarkable properties of sinc and related integrals", The Ramanujan Journal, 5 (1): 73–89, doi:10.1023/A:1011497229317, ISSN 1382-4090, MR 1829810
2. Baillie, Robert (2011). "Fun With Very Large Numbers". arXiv:1105.3943.
3. Schmid, Hanspeter (2014), "Two curious integrals and a graphic proof" (PDF), Elemente der Mathematik, 69 (1): 11–17, doi:10.4171/EM/239, ISSN 0013-6018
4. https://mathoverflow.net/questions/11517/computer-algebra-errors/11607#comment28278_11607

Voci correlate

• Funzione sinc
• Integrale improprio
• Tavola degli integrali indefiniti di funzioni trigonometriche

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Integrale di Borwein, su MathWorld, Wolfram Research.