La funzione sinc normalizzata (blu) e quella non normalizzata (rosso). In matematica la funzione sinc (o seno cardinale ), indicata come
s
i
n
c
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {sinc} (x)}
S
a
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {Sa} (x)}
La funzione sinc normalizzata, usata nell'elaborazione numerica dei segnali e nella teoria dell'informazione è definita come:
s
i
n
c
(
x
)
=
{
sin
(
π
x
)
π
x
se
x
≠
0
1
se
x
=
0
{\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\begin{cases}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}&{\text{ se }}x\neq 0\,\\1&{\text{ se }}x=0\end{cases}}}
mentre la funzione sinc non normalizzata, da molto tempo usata in parecchi ambiti è:
s
i
n
c
(
x
)
=
{
sin
(
x
)
x
se
x
≠
0
1
se
x
=
0
{\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\begin{cases}{\frac {\sin(x)}{x}}&{\text{ se }}x\neq 0\,\\1&{\text{ se }}x=0\end{cases}}}
In entrambi i casi il limite della funzione in
0
{\displaystyle 0}
1
{\displaystyle 1}
limite notevole e quindi risulta essere una singolarità eliminabile . La sinc è quindi una funzione analitica ovunque.
La funzione sinc non normalizzata assume il valore zero per multipli, non nulli, di
π
{\displaystyle \pi }
I massimi e minimi locali per la funzione sinc non-normalizzata si trovano nei punti di intersezione con la funzione coseno . Quindi
sin
(
ξ
)
ξ
=
cos
(
ξ
)
{\displaystyle {\frac {\sin(\xi )}{\xi }}=\cos(\xi )}
ξ
{\displaystyle \xi }
sin
(
ξ
)
ξ
{\displaystyle \sin(\xi ) \over \xi }
sin
(
π
x
)
π
x
=
∏
n
=
1
+
∞
(
1
−
x
2
n
2
)
{\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{+\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)}
oppure utilizzando la funzione gamma
sin
(
π
x
)
π
x
=
1
Γ
(
1
+
x
)
Γ
(
1
−
x
)
{\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}}
La trasformata di Fourier della funzione sinc normalizzata è uguale a
r
e
c
t
(
f
)
{\displaystyle \mathrm {rect} (f)}
∫
−
∞
+
∞
s
i
n
c
(
t
)
e
−
2
π
i
f
t
d
t
=
r
e
c
t
(
f
)
{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {sinc} (t)e^{-2\pi ift}dt=\mathrm {rect} (f)}
dove la funzione rettangolo assume il valore unitario per argomenti tra
−
1
2
{\displaystyle -{\frac {1}{2}}}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
∫
−
∞
+
∞
sin
(
π
x
)
π
x
d
x
=
r
e
c
t
(
0
)
=
1
{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}dx=\mathrm {rect} (0)=1}
che è un integrale improprio . Poiché
∫
−
∞
+
∞
|
sin
(
π
x
)
π
x
|
d
x
=
+
∞
{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\left|{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\right|dx=+\infty }
non si tratta di un integrale di Lebesgue .
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