Integrale della funzione inversa

In matematica, l'integrale di una funzione inversa può essere espresso nei termini della stessa inversa e di una primitiva della funzione non inversa, se questa la possiede. La formula è stata pubblicata nel 1905 da Charles-Ange Laisant[1].

Illustrazione del teorema

Enunciato

Sia ${\displaystyle f\colon I\to J}$ una funzione invertibile e strettamente monotona che ammette una primitiva ${\displaystyle F}$, con ${\displaystyle I}$ e ${\displaystyle J}$ intervalli di ${\displaystyle \mathbb {R} }$, e sia ${\displaystyle f^{-1}\colon J\to I}$ la sua inversa. Per qualche ${\displaystyle c\in J}$ fissato e per ogni ${\displaystyle x\in J}$ si ha

${\displaystyle \int _{c}^{x}f^{-1}(t)dt=\left[tf^{-1}(t)-(F\circ f^{-1})(t)\right]_{c}^{x},}$

da cui il corollario immediato ${\displaystyle \int f^{-1}(x)dx=xf^{-1}(x)-(F\circ f^{-1})(x)+C}$ con ${\displaystyle C}$ costante reale arbitraria.

Dimostrazione

Se ${\displaystyle f^{-1}}$ è anche derivabile con continuità in ${\displaystyle [c,x]}$, ricordando che ${\displaystyle \int _{c}^{x}f^{-1}(t)dt=\int _{c}^{x}1f^{-1}(t)dt}$, per l'integrazione per parti

${\displaystyle \int _{c}^{x}f^{-1}(t)dt=tf^{-1}(t)|_{c}^{x}-\int _{c}^{x}tD[f^{-1}(t)]dt,}$

dove ${\displaystyle D[f^{-1}(t)]}$ è la derivata della funzione inversa. Se riscriviamo la funzione identità ${\displaystyle t}$ come ${\displaystyle (f\circ f^{-1})(t)}$ nell'integrale di partenza, poiché ${\displaystyle (f\circ f^{-1})(t)D[f^{-1}(t)]=D[(F\circ f^{-1})(t)]}$ con ${\displaystyle F}$ una primitiva di ${\displaystyle f}$, per il teorema fondamentale del calcolo integrale otteniamo

${\displaystyle \int _{c}^{x}f^{-1}(t)dt=[tf^{-1}(t)-(F\circ f^{-1})(t)]_{c}^{x}.}$

QED.

Tuttavia non è necessario che ${\displaystyle f^{-1}(t)\in C^{1}([c,x])}$ [2] affinché il teorema valga.

Infatti, poiché ${\displaystyle f^{-1}}$ è una mappa biunivoca ${\displaystyle [c,x]\mapsto [f^{-1}(c),f^{-1}(x)]}$, possiamo usare l'integrazione per parti con cambio di variabili dell'integrale di Stieltjes,

${\displaystyle \int _{c}^{x}f^{-1}(t)dt=tf^{-1}(t)|_{c}^{x}-\int _{f^{-1}(c)}^{f^{-1}(x)}t\,df^{-1}(t)=tf^{-1}(t)|_{c}^{x}-\int _{f^{-1}(c)}^{f^{-1}(x)}f(f^{-1}(t))\,df^{-1}(t).}$

L'ultimo integrale è immediato e otteniamo ${\displaystyle \int _{c}^{x}f^{-1}(t)dt=tf^{-1}(t)|_{c}^{x}-F(t)|_{f^{-1}(c)}^{f^{-1}(x)}}$ che può però essere riscritto come

${\displaystyle \int _{c}^{x}f^{-1}(t)dt=(tf^{-1}(t)-F\circ f^{-1}(t))|_{c}^{x}.}$

QED.

Storia

Da quanto è noto, questo teorema è stato pubblicato per la prima volta nel 1905 da Charles-Ange Laisant, e indipendentemente nel 1912 dall'ingegnere italiano Alberto Caprilli nell'opuscolo "Nuove formole d'integrazione"[3], assumendo che ${\displaystyle f}$ o ${\displaystyle f^{-1}}$ sia differenziabile. Una versione più generale, libera da questa assunzione, fu proposta da Michael Spivak nel 1965 come esercizio nel suo libro Calculus[4], e una dimostrazione sotto le ipotesi ridotte è stata pubblicata in letteratura da Eric Key nel 1994.[5]

Il teorema sotto ipotesi ridotte assume solo che ${\displaystyle f}$ (o ${\displaystyle f^{-1}}$) sia, oltre che integrabile ovviamente, strettamente monotona. La tesi viene dimostrata direttamente usando la definizione di integrale di Darboux. Infatti, se i punti ${\displaystyle P=\left\{t_{0},\ldots ,t_{n}\right\}}$ inducono una partizione nell'intervallo di integrazione (di ${\displaystyle f^{-1}}$) ${\displaystyle [a,b]}$, allora ${\displaystyle P^{\prime }=\{f^{-1}(t_{0}),\dots ,f^{-1}(t_{n})\}}$ induce una partizione nell'intervallo di integrazione di ${\displaystyle f}$ (poiché ${\displaystyle f^{-1}}$ è strettamente monotona); si può quindi facilmente dimostrare che

${\displaystyle L\left(f^{-1},P\right)+U\left(f,P^{\prime }\right)=bf^{-1}(b)-af^{-1}(a),}$

dove ${\displaystyle L}$ e ${\displaystyle U}$ sono rispettivamente le somme inferiori e superiori di Darboux. Dal risultato precedente segue la tesi poiché le funzioni sono integrabili.

È bene inoltre notare che, in generale, la (stretta) monotonia sia condizione necessaria, oltre che sufficiente, affinché valga la tesi. Ciò è facilmente dimostrabile considerando apposite funzioni invertibili e integrabili appositamente definite a tratti in forma, per esempio, simile a

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x,&{\text{se }}x\in \left[0,{\frac {1}{2}}\right),\\1-{\frac {x}{2}},&{\text{se }}x\in \left[{\frac {1}{2}},1\right].\end{cases}}}$

Note

1. C.-A. Laisant, Intégration des fonctions inverses, in Nouvelles annales de mathématiques, journal des candidats aux écoles polytechnique et normale, vol. 5, n. 4, 1905, pp. 253–257.
2. Continuamente differenziabile in ${\displaystyle [c,x]}$.
3. Read online
4. Michael Spivak, Calculus (1967), chap. 13, pp. 235.
5. E. Key, Disks, Shells, and Integrals of Inverse Functions, in The College Mathematics Journal, vol. 25, n. 2, Mar 1994, pp. 136–138, DOI:10.2307/2687137, JSTOR 2687137.

Bibliografia

• J.H. Staib, The Integration of Inverse Functions, in Mathematics Magazine, vol. 39, n. 4, settembre 1966, pp. 223–224, DOI:10.2307/2688087.
• E. Key, Disks, Shells, and Integrals of Inverse Functions, in The College Mathematics Journal, vol. 25, n. 2, marzo 1994, pp. 136–138, DOI:10.2307/2687137.
• Michael Bensimhoun, On the antiderivative of inverse functions (PDF), 2013.