Incidenza (geometria)

In matematica due insiemi sono incidenti quando hanno almeno un elemento in comune, ossia quando la loro intersezione non è vuota.

In geometria descrittiva l'incidenza indica anche l'intersezione di due insiemi nel piano o nello spazio euclideo, considerando anche i punti impropri.

Ad esempio, il punto d'incidenza di due rette distinte nel piano è il loro punto d'intersezione; similmente nello spazio si hanno il punto d'incidenza di un piano e di una retta non contenuta in esso, oppure la retta d'incidenza di due piani distinti.

La sezione di una figura piana rispetto a una retta o di una figura solida rispetto ad un piano sono casi particolari di incidenza.

Esempi d'incidenza nel piano

Punto d'intersezione tra due rette complanari

È un punto ${\displaystyle Q}$, che è comune a due rette ${\displaystyle r}$ ed ${\displaystyle s}$, appartenenti entrambe allo stesso piano ${\displaystyle \pi }$. In simboli:

${\displaystyle \exists r,s\in \pi {\text{ tale che }}r\cap s=Q.}$

Il punto ${\displaystyle Q}$ prende il nome di punto proprio. Nel caso in cui ${\displaystyle \pi }$ sia il piano cartesiano, chiamiamolo ${\displaystyle \Pi }$, possiamo riscrivere il tutto:

${\displaystyle \exists r,s\in \Pi {\text{ tale che }}r\cap s=Q\in \mathbb {R} ^{2};}$

dove con ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ si intende il prodotto cartesiano tra ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ed ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Con ques'ultima notazione non facciamo altro che dire che ${\displaystyle Q}$ fa parte del piano cartesiano e che viene individuato da una coppia di numeri ${\displaystyle (x,y)\in \Pi }$, ossia le sue coordinate.

Nel caso in cui ${\displaystyle r\parallel s}$, ${\displaystyle Q}$ prende il nome di punto improprio.

Esempio:

Date le due rette di equazione ${\textstyle r:y=x+1}$ e ${\displaystyle s:y=-2x-2}$, per trovare il punto d'intersezione è sufficiente risolvere il sistema:

${\displaystyle {\begin{cases}y=x+1\\y=-2x-2\end{cases}}}$

Risulterà quindi che il punto d'intersezione sarà ${\displaystyle Q=(-1,0)}$.

La complanarità tra due rette assegnate ${\displaystyle r}$ ed ${\displaystyle s}$, disposte nello spazio, può essere verificata solo quando si eseguono almeno due proiezioni, sia centrali sia parallele, di tali rette ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle s}$. Per esempio, nel metodo di Monge (che fa parte della categoria delle proiezioni parallele), la complanarità può essere verificata quando le proiezioni ortogonali del punto d'intersezione tra le dette rette ${\displaystyle r}$ ed ${\displaystyle s}$ appartengono a una stessa retta di richiamo.

Esempi d'incidenza nello spazio

Retta d'intersezione tra due piani

La retta d'intersezione tra due piani ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ può essere individuata determinando due punti ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$ comuni a tali piani. Nel caso in cui tali piani ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ sono tra loro paralleli si ha che tali punti ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$ sono entrambi impropri.

Applicazione

La determinazione di una retta ${\displaystyle u}$ comune a due assegnati piani ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$, consiste nel eseguire, in ordine, le seguenti operazioni:

• Determinare un primo punto ${\displaystyle P}$ comune ad ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$:
  • Si assume un piano ausiliario ${\displaystyle \gamma }$. Tra gli infiniti piani ausiliari che si possono assumere, spesso per la facilita d'uso, si sceglie quello che ha giacitura verticale.
  • Si determinano ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle s}$, rispettivamente: come rette d'intersezione tra il piano ausiliario ${\displaystyle \gamma }$ con ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$.
  • Infine si individua il punto cercato ${\displaystyle P}$, come intersezione tra le rette determinate ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle s}$.
• Si ripetono le operazioni precedenti per determinare un secondo punto ${\displaystyle Q}$, anch'esso comune ai piani assegnati ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$. A tale fine e per facilitare tali operazioni, è preferibile assumere un secondo piano ausiliario delta che sia parallelo a ${\displaystyle \gamma }$. In questo modo delta seziona i piani ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ secondo due rette paralleli a ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle s}$.

Punto d'intersezione di una retta con un piano

Dati una retta e un piano ${\displaystyle \alpha }$ non passante per ${\displaystyle r}$ (vedi figura). Il punto d'intersezione ${\displaystyle S}$ tra gli elementi dati, il quale può essere improprio quando ${\displaystyle r}$ risulta parallela ad ${\displaystyle \alpha }$, altrimenti proprio, quando ${\displaystyle r}$ è inclinata rispetto ad ${\displaystyle \alpha }$. Per determinare tale punto ${\displaystyle S}$, si procede come di seguito:

• si fa passare per ${\displaystyle r}$ un piano ausiliario ${\displaystyle \beta }$;
• si determina una retta ${\displaystyle s}$ come intersezione tra i piani ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$;
• si individua, in ultimo, il punto cercato ${\displaystyle S}$ come intersezione tra la rette ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle s}$.

Si tiene presente che nel caso in cui risulta che tali rette ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle s}$ sono tra loro paralleli, significa che ${\displaystyle r}$ è parallela al piano ${\displaystyle \alpha }$.

Incidenza di una retta r con una superficie proiettiva

Incidenza di r con un cilindro

Date le proiezioni ortogonali di un cilindro ${\displaystyle K}$ e di una retta ${\displaystyle r}$, in cui è stabilito che ${\displaystyle K}$ ha base circolare appartenente al primo piano di proiezione ${\displaystyle \pi _{1}}$ e asse inclinato rispetto a tale piano, si vuole determinare eventuali punti d'incidenza di ${\displaystyle r}$ con ${\displaystyle K}$.

Il concetto d'intersezione di una retta ${\displaystyle r}$ con cilindro ${\displaystyle K}$ si basa sul fatto che i piani che passano per il vertice di ${\displaystyle K}$ ( cioè parallele al suo asse) lo sezionano seconda due generatrici (in questo caso sono due rette), e poiché un punto improprio (vertice del cilindro) e la retta data ${\displaystyle r}$ individuano un solo piano ${\displaystyle \alpha }$, per cui, è sufficiente individuare tale piano ${\displaystyle \alpha }$ per risolvere il problema in questione. Per inciso:

• La prima traccia di ${\displaystyle \alpha }$ si individua unendo la prima traccia di ${\displaystyle r}$ con la prima traccia di un'altra retta ${\displaystyle s}$ complanare a ${\displaystyle r}$ e parallele all'asse del cilindro ${\displaystyle K}$.
• Dove la prima traccia di ${\displaystyle \alpha }$ interseca la base inferiore di ${\displaystyle k}$, passano le due generatrici, ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$, d'intersezione tra ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle K}$.
• In ultimo, i punti d'incidenza di ${\displaystyle r}$ con ${\displaystyle K}$, si individuano come intersezione delle dette generatrici ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$ con ${\displaystyle r}$.

Nota importante: con procedimento analogo, come sopra, è possibile determinare l'intersezione di una retta con qualsiasi tipo di superficie proiettiva, come le superfici coniche, le piramidi, i prismi.

Voci correlate

• Insieme
• intersezione (insiemistica)
• Punto improprio
• Spazio euclideo
• Sezione (geometria descrittiva)
• Teorema delle intersezioni dimensionali

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Incidenza, su MathWorld, Wolfram Research.