Flusso (matematica)

In matematica, in particolare nello studio delle equazioni differenziali ordinarie, un flusso generalizza il concetto di funzione iterata n volte in modo che il numero di iterazioni n diventi un parametro continuo. Più rigorosamente, un flusso è un'azione di gruppo di un gruppo ad un parametro.

È utilizzato in ingegneria e fisica per formalizzare le soluzioni dell'equazione che descrive un sistema dinamico.

L'idea di un vettore di flusso, cioè il flusso di un campo vettoriale, è utilizzata nei più disparati ambiti, come la topologia differenziale, la geometria di Riemann e i gruppi di Lie. Alcuni esempi di vettori di flusso sono il flusso geodetico, il campo vettoriale hamiltoniano, il flusso di Ricci e il flusso di Anosov.

Definizione

Un flusso definito su un insieme ${\displaystyle X}$ è un'azione di gruppo di ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ su ${\displaystyle X}$. Più esplicitamente, un flusso è una funzione ${\displaystyle \varphi :X\times \mathbb {R} \rightarrow X}$ con ${\displaystyle \varphi (x,0)=x}$ e tale da essere coerente con la struttura di un gruppo ad un parametro:

${\displaystyle \varphi (\varphi (x,t),s)=\varphi (x,t+s)}$

per ogni ${\displaystyle s,t}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ e con ${\displaystyle x\in X}$.

L'insieme ${\displaystyle {\mathcal {O}}(x,\varphi )=\{\varphi (x,t):t\in \mathbb {R} \}}$ è chiamato orbita di ${\displaystyle x}$ attraverso ${\displaystyle \varphi }$.

Normalmente è richiesto che un flusso sia compatibile con le strutture definite su ${\displaystyle X}$, ad esempio se ${\displaystyle X}$ è uno spazio topologico si richiede solitamente che il flusso sia una funzione continua (in questo modo il flusso forma un sottogruppo ad un parametro di omeomorfismi). In molti casi ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$, oppure è una varietà differenziabile con ${\displaystyle \varphi }$ una funzione differenziabile (che forma un sottogruppo ad un parametro di diffeomorfismi).

Un flusso locale è un flusso definito su un sottoinsieme:

${\displaystyle \mathrm {dom} (\varphi )=\{(x,t)\ |\ t\in [a_{x},b_{x}],\ a_{x}<0<b_{x},\ x\in X\}\subset X\times \mathbb {R} }$

e si introduce in genere quando si trattano flussi di campi vettoriali.

In molti campi, come in ingegneria, in fisica e nello studio delle equazioni differenziali, è diffusa una particolare notazione in cui il flusso è scritto implicitamente come ${\displaystyle x(t,x_{0})\equiv \phi _{t}(x_{0})}$, intendendo che la variabile ${\displaystyle x}$ dipende dal tempo ${\displaystyle t}$ e dal punto iniziale ${\displaystyle x_{0}}$.

Sistemi dinamici

Un comune esempio di flusso in fisica matematica sono le soluzioni di un'equazione differenziale ordinaria autonoma, usata per descrivere i sistemi dinamici:

${\displaystyle y'=f(y)\qquad y(t=0)=x_{0}}$

dove il flusso ${\displaystyle \psi _{t}(x_{0})}$ corrispondente all'orbita (evoluzione del sistema nello spazio delle fasi) per il punto iniziale ${\displaystyle x_{0}}$ è l'unica soluzione al problema ai valori iniziali dato.

Bibliografia

• (EN) I.P. [I.P. Kornfel'd] Cornfel'd, S.V. Fomin, Ya.G. Sinai, Ergodic theory, Springer (1982)
• (EN) P.R. Halmos, Lectures on ergodic theory, Math. Soc. Japan (1956) MR0097489 Zbl 0073.09302
• (EN) E. Hopf, Ergodentheorie, Springer (1970) MR0024581 Zbl 0185.29001
• (EN) A.M. Vershik, Measurable realization of continuous automorphism groups of a unitary ring Izv. Akad. Nauk. SSSR Ser. Mat., 29: 1 (1965) pp. 127–136 Zbl 0194.16302
• (EN) G.W. Mackey, Point realizations of transformation groups Illinois J. Math.

Voci correlate

• Campo vettoriale
• Equazione differenziale ordinaria
• Orbita (matematica)
• Sistema autonomo (matematica)
• Varietà stabile

Collegamenti esterni

• (EN) D.V. Anosov, Continuous flow, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) D.V. Anosov, Measurable flow, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) D.V. Anosov, Special flow, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) flow, in PlanetMath.