Figura replicante

Una selezione di replicanti, vengono mostrati rep-2, rep-3, rep-4, rep-5, rep-8, rep-9, rep-16 e rep-36. Ci sono anche 5 poligoni stellati.

In geometria della tassellazione per figura replicante (o rettile[1] dall'inglese rep-tile[2]) si intende una figura autosimile, che si ripete[3], per la proprietà di potersi scomporre in tasselli simili all'originale.

Terminologia

I tasselli replicanti furono chiamati "rettili", per via di un gioco di parole in inglese, dal matematico Solomon Golomb che per primo li studiò nel 1962. Una figura replicante è chiamata rep-${\displaystyle n}$ se scomposta in ${\displaystyle n}$ copie uguali. Se invece la scomposizione è con forme simili non tutte uguali allora si parla di replicazione irregolare e di irrep-n[4]. L'ordine di una forma replicante, che si utilizzino o meno tessere uguali, è il numero più piccolo possibile di tasselli utilizzato nella scomposizione.[5]

Poligoni

Poligoni rep-16 ricavati da ottomini

Rep-2

Gli unici poligoni riproducibili di ordine 2 conosciuti sono il triangolo rettangolo isoscele e il parallelogramma le cui misure dei lati sono nel rapporto ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. Le misure degli angoli interni del parallelogramma non influenzano questa proprietà. I formati della carta (A1,A2, A3, A4,...), utilizzati comunemente dalle nostre stampanti, utilizzano questa proprietà. I fogli di dimensioni diverse sono tutti simili e quindi, per esempio, dividendo in due un foglio A3 se ne ottengono due A4.

Rep-n

Analogamente a quanto visto precedentemente, nel caso particolare ${\displaystyle n=2,}$ dato un numero intero ${\displaystyle n>1}$ è possibile costruire un parallelogramma rep-${\displaystyle n}$. È infatti sufficiente costruire un parallelogramma con rapporto dei due lati ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\sqrt {n}}}$ e suddividere i suoi lati maggiori in ${\displaystyle n}$ parti uguali e poi congiungere gli opposti punti a due a due. Gli ${\displaystyle n}$ parallelogrammi così ottenuti avranno rapporto lati

${\displaystyle {\frac {b}{a/n}}=n{\frac {b}{a}}={\frac {n}{\frac {a}{b}}}={\frac {n}{\sqrt {n}}}={\sqrt {n}}}$

e saranno perciò simili all'originale. Un rep-${\displaystyle n}$ può essere frammentato all'infinito fino a formare un frattale, come per esempio il triangolo di Sierpinski

La sfinge è un tassello pentagonale replicante di ordine 4 che può presentarsi come rep-4 ma anche, frammentandosi, come rep-16, rep-64, irrep-13 etc.

Poligoni stellati

Un poligono stellato consiste in due o più poligono uniti da singoli punti.

• 
  Rep-4, monaco[6]
• 
  Rep-9, pesce
• 
  Rep-8, pesce

Irrep-n

• 
  Un irrep-5 pentagonale
• 
  Un irrep-10 esagonale

Frattali

Esagono, trimino, rep-4, rep-16 e così via in progressione geometrica verso l'infinito

Tre figure di Golomb

Solomon Golomb ha individuato tre figure non poligonali rep-4 non costruibili in un numero finito di operazioni. Ognuna di esse è costituita da una diversa sovrapposizione di triangoli equilateri decrescenti in progressione geometrica di ragione ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$

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• 
• 

Esempi

Il merletto di Koch è un esempio di replicante ordine 2, il triangolo di Sierpinski è invece di ordine 3, il tappeto di Sierpinski di ordine 8 e la spugna di Menger è un replicante di ordine 20.

• 
  Rep-3[7]
• 
  Rep-5[7]
• 
  Rep-7[7]
• 
  Irrep-7, fiocco
• 
  Irrep-${\displaystyle \infty }$, siamese

Note

1. *Reptuile,  in francese
2. *Rep-tile,  piastrella replicante, in inglese "replicating tile", abbreviato in "rep-tile"
3. Gardner 1977.
4. (EN) Erich Friedman, Math Magic - Problem of the Month 10/2002, su erich-friedman.github.io, 2002. URL consultato il 1º dicembre 2023.
5. (EN) Martin Gardner, Rep-Tiles, in The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems, New York, W. W. Norton, 2001, pp. 46–58, ISBN 9780393020236.
6. Giorgio Pietrocola, Mostra di rep-4, figure che si fanno in quattro per i figli, su Tartapelago, maecla.it, Maecla, 2009. URL consultato il 1º dicembre 2023.
7. Mostra di rep-3, rep-5, rep-7 frattali che si fanno in tre, cinque e perfino in sette per la loro prole, su Tartapelago, maecla.it, Maecla, 2009. URL consultato il 1º dicembre 2023.

Bibliografia

• Figure piane che si ripetono, in Enigmi e giochi matematici, vol. 4, Firenze, Sansoni, 1977, p. 205-217, OCLC 848765241.
• (FR) Reptuile, su Dictionnaire de mathématiques récréatives, recreomath.qc.ca. URL consultato il 1º dicembre 2023.

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Collegamenti esterni

• (EN) Rep-tile, su Wolfram MathWorld, mathworld.wolfram.com. URL consultato il 1º dicembre 2023.
• (EN) Irrep-tile, su Wolfram, demonstrations.wolfram.com. URL consultato il 1º dicembre 2023.
• (EN) A.Vince, Self-Replicating Tiles and Their Boundary, su Geometric and computational geometry, researchgate.net, 1999. URL consultato il 1º dicembre 2023.