Disuguaglianza di Newton

In matematica, la disuguaglianza di Newton è una disuguaglianza che porta il nome di Isaac Newton.

Sia ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ una n-upla di numeri reali. Indichiamo con ${\displaystyle c_{k}}$ la somma di tutti i possibili prodotti di k fattori scelti in n.

Grazie alle relazioni tra radici e coefficienti di un polinomio sì che ${\displaystyle c_{k}}$ è il coefficiente di ${\displaystyle x^{n-k}}$ nel polinomio ${\displaystyle (x+a_{1})\cdot \ldots \cdot (x+a_{n})}$.

Indichiamo con ${\displaystyle d_{k}}$ la media aritmetica degli addendi che compongono ${\displaystyle c_{k}}$. Cioè

${\displaystyle d_{k}={\frac {c_{k}}{n \choose k}}}$

La disuguaglianza di Newton dice che, per ogni ${\displaystyle k=1,\ldots ,n-1}$

${\displaystyle d_{k}^{2}\geq d_{k-1}\cdot d_{k+1}}$

dove, per convenzione, ${\displaystyle d_{0}=1}$.

Voci correlate

• Isaac Newton
• Disuguaglianza di MacLaurin