Disuguaglianza di MacLaurin

In matematica, la disuguaglianza di MacLaurin fornisce una serie di termini intermedi tra la media aritmetica e quella geometrica di una n-upla di reali positivi.

Definizione

Sia ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ una n-upla di numeri reali. Indichiamo con ${\displaystyle c_{k}}$ la somma di tutti i possibili prodotti di k fattori scelti in n.

Grazie alle relazioni tra radici e coefficienti di un polinomio si dice che ${\displaystyle c_{k}}$ è il coefficiente di ${\displaystyle x^{n-k}}$ nel polinomio ${\displaystyle (x+a_{1})\cdot \ldots \cdot (x+a_{n})}$.

Indichiamo con ${\displaystyle d_{k}}$ la media aritmetica degli addendi che compongono ${\displaystyle c_{k}}$, cioè

${\displaystyle d_{k}={\frac {c_{k}}{n \choose k}}}$

La disuguaglianza di MacLaurin dice che

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{d_{n}}}\leq {\sqrt[{n-1}]{d_{n-1}}}\leq \ldots \leq {\sqrt {d_{2}}}\leq d_{1}}$

Inoltre vale un qualunque segno di uguale (e in tal caso valgono tutti) se e solo se gli ${\displaystyle a_{i}}$ sono tutti uguali.

Esempio

Poniamo ${\displaystyle n=4}$ e siano a, b, c, d quattro numeri reali positivi. Allora per la disuguaglianza di MacLaurin

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{abcd}}\leq {\sqrt[{3}]{\frac {abc+abd+acd+bcd}{4}}}\leq {\sqrt[{2}]{\frac {ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6}}}\leq {\frac {a+b+c+d}{4}}}$

Voci correlate

• Colin Maclaurin
• Disuguaglianza di Newton