Distribuzione generalizzata dei valori estremi

In teoria della probabilità la distribuzione generalizzata dei valori estremi (dall'inglese generalized extreme value distribution, in sigla GEV), o distribuzione di Fisher-Tippett, è una famiglia di distribuzioni di probabilità che raccoglie la distribuzione di Fréchet, la distribuzione di Weibull e la distribuzione di Gumbel (come caso al limite).

Questa famiglia è comune nella teoria dei valori estremi, dove descrive il limite dei massimi ${\displaystyle M_{n}=\max\{X_{1},X_{2},...,X_{n}\}}$ in una successione di variabili aleatorie indipendenti, secondo il teorema dei valori estremi.

Il secondo nome con cui è conosciuta deriva dagli statistici britannici Fisher e Tippett.

Definizione

Una distribuzione generalizzata dei valori estremi è caratterizzata da tre parametri reali ${\displaystyle (\mu ,\ \sigma ,\ \xi )}$ con ${\displaystyle \sigma >0}$ e ${\displaystyle \xi \neq 0}$; il suo supporto dipende dai valori dei parametri.

La sua funzione di ripartizione è definita come:[1]

${\displaystyle F(x)=e^{-\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}}}}$,

per i valori di ${\displaystyle x}$ che soddisfano:

${\displaystyle \xi \cdot x\geq \xi \cdot \mu -\sigma }$

Classificazione

Prendendo

${\displaystyle a=\mu -{\frac {\sigma }{\xi }},\qquad b={\frac {\sigma }{\xi }},\qquad c={\frac {1}{\xi }}}$,

la funzione di ripartizione può essere scritta come:

${\displaystyle F(x)=e^{-({\tfrac {x-a}{b}})^{-c}}}$.

Distribuzione di Fréchet

Per ${\displaystyle \xi >0}$ la distribuzione è una distribuzione di Fréchet generalizzata di parametri ${\displaystyle (a,b,c)}$

Distribuzione di Weibull

Per ${\displaystyle \xi <0}$ la distribuzione "riprende" una distribuzione di Weibull generalizzata di parametri ${\displaystyle (a,b,-c)}$, descrivendone la funzione di sopravvivenza; più precisamente le due distribuzioni descrivono due variabili aleatorie opposte, ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle -X}$.

Distribuzione di Gumbel

Per ${\displaystyle \xi =0}$ la distribuzione non è definita, ma al limite ${\displaystyle \xi \to 0}$ si ottiene:

${\displaystyle \lim _{\xi \to 0}F_{\xi }(x)=e^{-e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}}}$,

che corrisponde alla distribuzione di Gumbel.

Note

1. Koutsoyiannis (2004), p. 578 dove:
   • ${\displaystyle \kappa =\xi }$,
   • ${\displaystyle \psi \cdot \lambda =\mu }$,
   • ${\displaystyle \lambda =\sigma }$

Bibliografia

• Demetris Koutsoyiannis, Statistics of extremes and estimation of extreme rainfall: I. Theoretical investigation / Statistiques de valeurs extrêmes et estimation de précipitations extrêmes: I. Recherche théorique, in Hydrological Sciences Journal, vol. 49, n. 4, 2004-08, DOI:10.1623/hysj.49.4.575.54430. URL consultato il 19 novembre 2021.

Voci correlate

• Distribuzione di Fréchet
• Distribuzione di Gumbel
• Distribuzione di Weibull