Supporto (matematica)

In matematica, il supporto o sostegno di una funzione è il sottoinsieme dei punti del dominio dove la funzione non si annulla. Se il dominio è uno spazio topologico e la funzione è continua, allora è conveniente definire il supporto come la chiusura dell'insieme dei punti del dominio dove la funzione non si annulla.

Nel caso di una curva, il supporto è definito come l'immagine della parametrizzazione della curva.

Nel caso di una misura ${\displaystyle \mu }$ su uno spazio misurabile ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$, il supporto è definito come la chiusura del sottoinsieme di ${\displaystyle X}$ i cui punti hanno la proprietà che ogni loro intorno ha misura positiva.

Funzioni

Sia ${\displaystyle X}$ uno spazio topologico, e ${\displaystyle Y}$ uno spazio vettoriale. Sia:

${\displaystyle f:\Omega \subseteq X\to Y}$

Si definisce supporto di ${\displaystyle f}$ l'insieme:[1]

${\displaystyle \operatorname {supp} f:={\overline {\{\mathbf {x} \in \Omega :f(\mathbf {x} )\neq \mathbf {0} \}}}}$

Di particolare importanza in analisi sono le funzioni a supporto compatto.

Teoria della misura

Il supporto di una misura ${\displaystyle \mu }$ su uno spazio misurabile ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ è la chiusura del sottoinsieme di ${\displaystyle X}$ i cui punti hanno la proprietà che ogni loro intorno ha misura positiva.

Sia ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ uno spazio misurabile (con misura non negativa), allora:

${\displaystyle \mathrm {supp} \,\mu :={\overline {\{x\in X\,:\forall N\ni x,\,\mu (N)>0\}}}}$

Curve

Il supporto di una curva è definito come l'immagine della parametrizzazione della curva. Sia ${\displaystyle \mathbf {r} }$ la parametrizzazione di una curva:

${\displaystyle \mathbf {r} :I\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n},}$

allora il suo supporto ${\displaystyle \Gamma }$ è l'immagine di ${\displaystyle \mathbf {r} }$, cioè l'insieme:

${\displaystyle \Gamma =\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:\exists t\in I,\,\mathbf {x} =\mathbf {r} (t)\}=\mathbf {r} (I).}$

Si nota che per descrivere la curva non basta solo il suo supporto. Infatti, ad esempio, la curva ${\displaystyle \gamma _{1}(t)=(\cos t,\sin t),t\in [0,2\pi ]}$ e la curva ${\displaystyle \gamma _{2}(t)=(\cos t,\sin t),t\in [0,3\pi ]}$ hanno lo stesso supporto, ma la prima è semplice e chiusa, la seconda no.

Supporto singolare

Nell'analisi di Fourier, il supporto singolare di una distribuzione è intuitivamente definito come l'insieme dei punti in cui la distribuzione non è una funzione liscia. Per esempio, la trasformata di Fourier della funzione gradino di Heaviside può essere vista come la funzione ${\displaystyle 1/x}$ eccetto per il punto ${\displaystyle x=0}$. Nello specifico, essa ha la forma:

${\displaystyle {\hat {H}}(s)=\lim _{N\to \infty }\int _{-N}^{N}\mathrm {e} ^{-2\pi ixs}H(x)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\left(\delta (s)-{\frac {i}{\pi }}\mathrm {p.v.} {\frac {1}{s}}\right)}$

La trasformata possiede quindi un supporto singolare ${\displaystyle \{0\}}$ e non può essere espressa come una funzione, ma come la distribuzione (temperata) ${\displaystyle \mathrm {p.v.} 1/s}$ che associa alla funzione di test ${\displaystyle \varphi }$ il valore principale di Cauchy di:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (s)/s\,\mathrm {d} s}$

Note

1. W. Rudin, pag. 36.

Bibliografia

• (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
• (EN) Gerald B. Folland, Real Analysis, 2nd ed., New York, John Wiley, 1999, p. 132.
• (EN) Lars Hörmander, Linear Partial Differential Equations I, 2nd ed., Berlin, Springer-Verlag, 1990, p. 14.
• (EN) Andrea Pascucci, PDE and Martingale Methods in Option Pricing, Berlin, Springer-Verlag, 2011, p. 678, DOI:10.1007/978-88-470-1781-8, ISBN 978-88-470-1780-1.

Voci correlate

• Chiusura (topologia)
• Dominio (matematica)
• Funzione a supporto compatto