Curvatura principale

In geometria differenziale, ad ogni punto di una superficie differenziabile nello spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ sono associate due curvature principali: queste sono il massimo ed il minimo della curvatura di una curva contenuta nella superficie e passante per il punto.

La curvatura gaussiana e la curvatura media sono ottenute rispettivamente come prodotto e come media aritmetica delle due curvature principali.

Definizione

La curvatura di una curva in un punto è il reciproco del raggio del cerchio osculatore nel punto.

Sia ${\displaystyle x}$ un punto in una superficie differenziabile ${\displaystyle X}$ contenuta in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, e ${\displaystyle {\vec {n}}}$ una normale alla superficie scelta in ${\displaystyle x}$. Ciascun piano contenente la normale interseca ${\displaystyle X}$ vicino ad ${\displaystyle x}$ in una curva ${\displaystyle \gamma }$. La curvatura di ${\displaystyle \gamma }$ in ${\displaystyle x}$ ha anche un segno: questo è positivo se la curva gira nella stessa direzione di ${\displaystyle {\vec {n}}}$ (cioè se il cerchio osculatore sta rispetto ad ${\displaystyle X}$ nello stesso lato di ${\displaystyle {\vec {n}}}$), e negativa altrimenti.

Ogni vettore ${\displaystyle {\vec {v}}}$ di lunghezza unitaria del piano tangente in ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle X}$ definisce il piano passante per ${\displaystyle {\vec {n}}}$ e ${\displaystyle {\vec {v}}}$. I vettori tangenti di lunghezza unitaria formano una circonferenza ${\displaystyle C}$, la curvatura è quindi una funzione

${\displaystyle f\colon C\to \mathbb {R} .}$

Poiché ${\displaystyle C}$ è compatto e la funzione è continua, questa ha un massimo ed un minimo (teorema di Weierstrass). I valori massimo e minimo sono le curvature principali della superficie ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle x}$.

Proprietà

Direzioni principali in un cilindro. Le curvature sono ${\displaystyle k_{1}=0}$ (in verde) e ${\displaystyle k_{2}>0}$ (in blu).

Direzioni principali ortogonali

Se le curvature principali sono distinte, cioè se la funzione ${\displaystyle f}$ non è costante, il punto di massimo è assunto su due direzioni opposte di ${\displaystyle C}$, e anche il punto di minimo. Le direzioni principali sono le due rette del piano tangente in ${\displaystyle x}$ contenenti rispettivamente i punti di minimo e di massimo. Queste sono inoltre ortogonali, come dimostrato da Eulero nel 1760.

Esempi di superfici in cui la ${\displaystyle f}$ è costante e quindi le direzioni principali non sono definite sono il piano e la sfera. In questo caso la funzione ${\displaystyle f}$ è costantemente zero (nel piano) o un valore ${\displaystyle k>0}$ (la sfera).

Piani ortogonali

Punto di sella con piani normali nelle direzioni delle curvature principali

Il piano tangente in ${\displaystyle x}$ ed i piani normali alle due direzioni principali (se definite) formano una terna di piani ortogonali a due a due.

Curvatura gaussiana e media

Il prodotto delle due curvature principali ${\displaystyle k_{1}k_{2}}$ è la curvatura gaussiana della superficie in ${\displaystyle x}$. La media aritmetica ${\displaystyle (k_{1}+k_{2})/2}$ è la curvatura media. Entrambe queste quantità sono importanti nello studio della geometria differenziale di una superficie.

Dipendenza dalla normale

Se la normale è scelta nel senso opposto, la funzione ${\displaystyle f}$ e quindi le curvature principali ${\displaystyle k_{1}}$ e ${\displaystyle k_{2}}$ cambiano di segno. Le direzioni principali non cambiano (vengono scambiate), la curvatura gaussiana non cambia, mentre quella media cambia di segno.

Tipologia di punti

Esistono alcuni aggettivi che descrivono le curvature principali di un punto ${\displaystyle x}$. Un punto ${\displaystyle x}$ è:

• ellittico se le curvature principali hanno lo stesso segno. In questo caso, la superficie è convessa in un intorno di ${\displaystyle x}$;
• parabolico se una curvatura principale è nulla.
• iperbolico se le curvature principali hanno segni opposti.
• ombelicale se le curvature principali coincidono. In questo caso, non sono definite le direzioni principali, e si intende che tutte le direzioni sono principali.

Un punto è ellittico, parabolico o iperbolico se la curvatura gaussiana è rispettivamente positiva, nulla o negativa.

Esempi

Superfici a curvatura costante

Linee di curvatura in uno sferoide.

Se ${\displaystyle X}$ è una sfera di raggio ${\displaystyle r}$ o un piano, tutti i punti sono ombelicali e con curvature principali ovunque ${\displaystyle 1/r}$ (nella sfera) oppure 0 (nel piano).

Il piano ed il cilindro

In un cilindro di raggio ${\displaystyle r}$, tutti i punti sono parabolici, e hanno curvature principali ${\displaystyle 0}$ e ${\displaystyle 1/r}$. La curvatura gaussiana è però sempre zero in ogni punto, come nel piano: arrotolando un foglio di carta si cambiano le sue curvature principali ma non la sua curvatura gaussiana. Questo è un effetto del fatto che la curvatura gaussiana è intrinseca (dipende solo dalla superficie) mentre le curvature principali sono estrinseche (dipendono da come la superficie è posta nello spazio).

Linee di curvatura

Una linea di curvatura in una superficie è una curva che è in ogni punto tangente ad una direzione principale. Per ogni punto non-ombelicale passano localmente esattamente due linee di curvatura.

Bibliografia

• (EN) Manfredo do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, 1976, ISBN 0-13-212589-7.

Voci correlate

• Curvatura
• Curvatura gaussiana
• Operatore di Weingarten

Collegamenti esterni

• (EN) principal curvature, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Curvatura principale, su MathWorld, Wolfram Research.