Calcolo di pi greco

Esistono diversi metodi per il calcolo di π (pi greco).

Metodi standard

Cerchi

π può essere ottenuto a partire da un cerchio di raggio ed area noti, essendo l'area data dalla formula:

${\displaystyle A=\pi r^{2}\,\!,}$

che permette di calcolare esplicitamente π:

${\displaystyle \pi =A/r^{2}.}$

Se un cerchio di raggio r viene disegnato con il suo centro nel punto (0,0), qualsiasi punto la cui distanza dall'origine sia minore o uguale a r sarà all'interno del cerchio. Il teorema di Pitagora dà il quadrato della distanza di qualsiasi punto (x,y) dall'origine:

${\displaystyle d^{2}=x^{2}+y^{2}.}$

Il "foglio da disegno" matematico è costruito pensando quadrati di lato unitario centrati attorno ad ogni punto (x,y), dove x e y sono gli interi compresi fra -r e r. I quadrati i cui centri siano dentro o sulla circonferenza possono essere contati verificando per ciascuno se

${\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq r^{2}.}$

Il numero di punti che soddisfano la condizione approssima allora l'area del cerchio, che può essere usata per calcolare un'approssimazione di ${\displaystyle \pi }$.

La formula può essere scritta come:

${\displaystyle \pi \approx {\frac {1}{r^{2}}}\sum _{x=-r}^{r}\;\sum _{y=-r}^{r}{\Big (}1{\hbox{ se }}x^{2}+y^{2}\leq r^{2},\;0{\hbox{ altrimenti}}{\Big )}.}$

In altre parole, si comincia scegliendo un valore di r; si considerano tutti i punti (x,y) per i quali sia x sia y siano interi compresi fra −r e r. Partendo da zero, si aggiunge uno per ciascun punto la cui distanza dall'origine (0,0) sia minore o uguale a r. Al termine, si divide la somma così ottenuta — rappresentante l'area del cerchio di raggio r — per l'intero r^2 per trovare un'approssimazione di π. Si ottengono migliori approssimazioni per valori maggiori di r.

Per esempio, se r è 5, allora i punti considerati sono:

(−5,5)	(−4,5)	(−3,5)	(−2,5)	(−1,5)	(0,5)	(1,5)	(2,5)	(3,5)	(4,5)	(5,5)
(−5,4)	(−4,4)	(−3,4)	(−2,4)	(−1,4)	(0,4)	(1,4)	(2,4)	(3,4)	(4,4)	(5,4)
(−5,3)	(−4,3)	(−3,3)	(−2,3)	(−1,3)	(0,3)	(1,3)	(2,3)	(3,3)	(4,3)	(5,3)
(−5,2)	(−4,2)	(−3,2)	(−2,2)	(−1,2)	(0,2)	(1,2)	(2,2)	(3,2)	(4,2)	(5,2)
(−5,1)	(−4,1)	(−3,1)	(−2,1)	(−1,1)	(0,1)	(1,1)	(2,1)	(3,1)	(4,1)	(5,1)
(−5,0)	(−4,0)	(−3,0)	(−2,0)	(−1,0)	(0,0)	(1,0)	(2,0)	(3,0)	(4,0)	(5,0)
(−5,−1)	(−4,−1)	(−3,−1)	(−2,−1)	(−1,−1)	(0,−1)	(1,−1)	(2,−1)	(3,−1)	(4,−1)	(5,−1)
(−5,−2)	(−4,−2)	(−3,−2)	(−2,−2)	(−1,−2)	(0,−2)	(1,−2)	(2,−2)	(3,−2)	(4,−2)	(5,−2)
(−5,−3)	(−4,−3)	(−3,−3)	(−2,−3)	(−1,−3)	(0,−3)	(1,−3)	(2,−3)	(3,−3)	(4,−3)	(5,−3)
(−5,−4)	(−4,−4)	(−3,−4)	(−2,−4)	(−1,−4)	(0,−4)	(1,−4)	(2,−4)	(3,−4)	(4,−4)	(5,−4)
(−5,−5)	(−4,−5)	(−3,−5)	(−2,−5)	(−1,−5)	(0,−5)	(1,−5)	(2,−5)	(3,−5)	(4,−5)	(5,−5)

I 12 punti (0,±5), (±5,0), (±3,±4), (±4,±3) sono esattamente sulla circonferenza, e ci sono 69 punti completamente all'interno, così l'area approssimata vale 81, e π vale in questa approssimazione 3.24. Risultati per diversi r sono riportati nella tabella seguente:

r	Area	Approssimazione di π
2	13	3.25
3	29	3.22222
4	49	3.0625
5	81	3.24
10	317	3.17
20	1257	3.1425
100	31417	3.1417
1000	3141549	3.141549

In modo simile, gli algoritmi più complessi riportati di seguito coinvolgono calcoli ripetuti di qualche tipo, e portano ad approssimazioni migliori al crescere del numero di calcoli.

Frazioni continue

A parte la rappresentazione in termini di frazioni continue [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, …], che non mostra alcuno schema riconoscibile, π ha molte rappresentazioni come frazione continua generalizzata, incluse le seguenti:

${\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {9}{6+{\cfrac {25}{6+{\cfrac {49}{6+{\cfrac {81}{6+{\cfrac {121}{\ddots \,}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {4}{5+{\cfrac {9}{7+{\cfrac {16}{9+{\cfrac {25}{11+{\cfrac {36}{13+{\cfrac {49}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}$

(Altre rappresentazioni si trovano presso The Wolfram Functions Site [1].)

Trigonometria

La serie di Gregory-Leibniz

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {(-1)^{i}}{2i+1}}+\cdots }$

è la serie di potenze di arctan(x) nel caso particolare ${\displaystyle x=1}$; la sua velocità di convergenza è troppo lenta perché sia di interesse pratico. Comunque, la serie converge molto più rapidamente per piccoli valori di ${\displaystyle x}$; si giunge quindi a formule dove ${\displaystyle \pi }$ si ricava come somma di tangenti razionali, come quella di John Machin:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$

Formule per ${\displaystyle \pi }$ di questo tipo sono note come formule di tipo Machin.

Considerando un triangolo equilatero ed osservando che

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)={}^{1}\!\!/\!{}_{2}}$

si trova che:

${\displaystyle \pi =3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{n!^{2}(2n+1)2^{4n}}}=3+{\frac {1}{8}}+{\frac {9}{640}}+{\frac {15}{7168}}+...}$

L'algoritmo Salamin-Brent

L'algoritmo di Salamin-Brent fu scoperto indipendentemente da Richard Brent e Eugene Salamin nel 1975. Permette di calcolare ${\displaystyle \pi }$ fino a N cifre significative in un tempo proporzionale a N log(N) log(log(N)), molto più velocemente delle formule trigonometriche.

Metodi di estrazioni di cifre

Formula BBP (base 16)

La formula BBP (Bailey-Borwein-Plouffe) per calcolare ${\displaystyle \pi }$ fu scoperta nel 1995 da Simon Plouffe. La formula calcola ${\displaystyle \pi }$ in base 16 senza bisogno di calcolare le cifre precedenti ("estrazione di cifre"). [2][3]

${\displaystyle \pi =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{8n+1}}-{\frac {2}{8n+4}}-{\frac {1}{8n+5}}-{\frac {1}{8n+6}}\right)\left({\frac {1}{16}}\right)^{n}}$

Miglioramento di Bellard (base 64)

Una formula alternativa per il calcolo di ${\displaystyle \pi }$ in base 64 venne derivato da Fabrice Bellard; tale metodo permette di calcolare cifre il 43% più velocemente.[4]

${\displaystyle \pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)}$

Estensione ad una base arbitraria

Nel 1996, Simon Plouffe ha ottenuto un algoritmo per calcolare cifre di ${\displaystyle \pi }$ in una base arbitraria in un tempo O(n^3log(n)^3).[5]

Miglioramento usando la formula di Gosper

Nel 1997, Fabrice Bellard ha migliorato la formula di Plouffe per l'estrazione di cifre in una base arbitraria, riducendo il tempo di calcolo a O(n^2).[6]

Progetti

Pi Hex

Il progetto Pi Hex, terminato nel 2000, ha calcolato cifre binarie di ${\displaystyle \pi }$ su una rete distribuita impiegando parecchie centinaia di computer.

Background pi

Ispirato da Pi Hex and Project Pi, Background Pi [7] cerca di calcolare cifre decimali sequenzialmente. È in fase di sviluppo una nuova versione, che gestisca diversi progetti con un'interfaccia più amichevole rispetto al BOINC.

Note

1. Pi: Continued fraction representations, su functions.wolfram.com. URL consultato il 10 febbraio 2022.
2. (EN) David H. Bailey, Peter B. Borwein e Simon Plouffe, On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants, in Mathematics of Computation, vol. 66, n. 218, 1997, pp. 903–913, DOI:10.1090/S0025-5718-97-00856-9.
3. (EN) Eric W. Weisstein, BBP Formula, in MathWorld, Wolfram Research.
4. (EN) Sito di Bellard: Copia archiviata, su fabrice.bellard.free.fr. URL consultato il 27 ottobre 2007 (archiviato dall'url originale il 12 settembre 2007).
5. (EN) Simon Plouffe, On the computation of the n'th decimal digit of various transcendental numbers, novembre 1996
6. (EN) Sito di Bellard: http://bellard.org/pi/pi_bin.pdf
7. (EN) Background Pi

Altri progetti

Altri progetti

• Wikibooks

• Wikibooks contiene testi o manuali su calcolo di pi greco

Collegamenti esterni

• Una prova del fatto che Pi è irrazionale, su hhr-m.userweb.mwn.de.
• Molte formule per π, dal sito della Wolfram Mathematics, su mathworld.wolfram.com.
• PiHex Project, su oldweb.cecm.sfu.ca. URL consultato il 26 novembre 2007 (archiviato dall'url originale il 13 ottobre 2007).