Théorème de Schmidt (théorie des groupes)

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, le théorème de Schmidt, démontré par Otto Schmidt en 1924[1], dit que si G est un groupe fini dont tous les sous-groupes propres sont nilpotents, G est résoluble[2]. K. Iwasawa a donné une description plus précise du groupe G sous les mêmes hypothèses[3].

Démonstration

On raisonne par récurrence sur l'ordre du groupe. Les groupes cycliques sont résolubles. On suppose donc, pour un certain n, que l'énoncé est vrai pour tous les groupes d'ordre < n, et que G est un groupe non cyclique d'ordre n (donc n > 1) dont tous les sous-groupes propres sont nilpotents. D'après le lemme 2 ci-dessous, G n'est pas simple. Par hypothèse de récurrence et d'après le théorème de correspondance, il est donc résoluble (car la nilpotence passe aux quotients et la résolubilité aux extensions).

Lemme 1[4] — Dans un groupe fini dont les sous-groupes maximaux sont d'intersection triviale 2 à 2, l'un de ces sous-groupes maximaux est normal.

Démonstration

Supposons qu'aucun sous-groupe maximal de G n'est normal. Alors :

• pour tout sous-groupe maximal H, le normalisateur de H est réduit à H donc le nombre des conjugués de H est égal à l'indice (≥ 2) de H ;
• G n'est pas cyclique, donc :
  • l'indice de tout sous-groupe maximal est majoré par |G|/2 ;
  • G est la réunion de ses sous-groupes maximaux.

Les H\{e} pour H maximal (où e désigne l'élément neutre) étant de plus supposés disjoints 2 à 2, ils forment une partition de G\{e}. En notant c le nombre de leurs classes de conjugaison, h_i l'indice des sous-groupes de la i-ème classe et g l'ordre de G, on en déduit une contradiction : ${\displaystyle g-1=\sum _{i=1}^{c}h_{i}\left({\frac {g}{h_{i}}}-1\right)=cg-\sum _{i=1}^{c}h_{i}\in \left[{\frac {cg}{2}},c(g-2)\right]\Rightarrow 1\leq c<2.}$. Ceci contredit l'hypothèse ${\displaystyle c\geq 2}$.

Lemme 2 — Soit G un groupe fini non cyclique. Si tous les sous-groupes maximaux de G sont nilpotents, alors G n'est pas simple.

Démonstration

Parmi les intersections de deux sous-groupes maximaux distincts (s'il en existe), soit I = H ∩ K d'ordre maximum. C'est un sous-groupe propre du groupe nilpotent H donc l'inclusion de I dans le normalisateur N_H(I) est stricte. Par maximalité de |I|, le seul sous-groupe maximal de G contenant N_H(I) est donc H. De même, K est le seul sous-groupe maximal contenant N_K(I). Le sous-groupe N_G(I), qui contient à la fois N_H(I) et N_K(I), n'est donc inclus dans aucun sous-groupe maximal, c'est-à-dire qu'il est égal à G, ou encore, que I est normal.

Si G est simple, on déduit que |I| = 1 (ou alors, G n'a qu'un sous-groupe maximal). On peut donc appliquer le lemme 1 : l'un des sous-groupes maximaux de G est normal. Comme G est supposé non cyclique, ce sous-groupe n'est pas trivial, ce qui contredit la simplicité de G.

Précisions sur la structure du groupe

Soit G un groupe fini dont tous les sous-groupes propres sont nilpotents, alors G est nilpotent ou d'ordre p^mq^n avec p et q premiers distincts et m, n ≥ 1[5].

Démonstration

Tout p-groupe fini est nilpotent. Supposons que |G| a au moins trois diviseurs premiers. Puisque (d'après le théorème de Schmidt) G est résoluble, il possède un sous-groupe normal H d'indice premier p. Comme H est un sous-groupe propre de G, il est nilpotent. Ses sous-groupes de Sylow sont par conséquent (pleinement) caractéristiques dans H donc normaux dans G. Choisissons dans G, pour chaque diviseur premier q de |G|, un q-Sylow P_q. D'après ce qui précède, pour tout q ≠ p, P_q est normal dans G. Comme chaque P_pP_q (pour q ≠ p) est nilpotent (car propre dans G), P_p est centralisé par tous les P_q si bien qu'il est, comme eux, normal dans G. Par conséquent, G est nilpotent.

Nombres nilpotents

Un nombre nilpotent est un entier n ≥ 1 tel que tout groupe d'ordre n soit nilpotent[6]. Les nombres nilpotents sont caractérisés par le théorème suivant[7],[8] :

Soit p₁^k1…p_r^kr la décomposition en facteurs premiers de n. Le nombre n est nilpotent si et seulement si pour tous i ≠ j, k_i est strictement inférieur à l'ordre multiplicatif de p_i modulo p_j.

Démonstration[9]

Soit n un entier dont la décomposition en facteurs premiers ne vérifie pas la condition de l'énoncé. Alors, n est multiple d'un entier de la forme p^kq avec p et q premiers distincts, k ≥ 1 et p^k ≡ 1 mod q. On construit facilement un groupe non nilpotent d'ordre p^kq, comme produit semi-direct de GL(k, F_p) par ℤ/qℤ et l'on en déduit un groupe non nilpotent d'ordre n, par produit direct par un groupe arbitraire d'ordre adéquat.

Réciproquement, supposons que la décomposition en facteurs premiers de n vérifie la condition de l'énoncé et montrons que tout groupe G d'ordre n est nilpotent. On procède par récurrence bien fondée, en supposant que l'énoncé est vrai pour tous les ordres < n. D'après la section précédente, G est alors nilpotent ou n a exactement deux facteurs premiers p et q. Mais dans ce second cas, d'après l'hypothèse sur la décomposition en facteurs premiers de n et le 3^e théorème de Sylow, G a un p-Sylow et un q-Sylow uniques donc normaux, si bien que G est leur produit direct donc, là encore, G est nilpotent.

(En particulier, les nombres nilpotents pairs sont donc[8] les puissances de 2.)

Pour tout entier c ≥ 1, on a un énoncé plus précis concernant la classe de nilpotence :

Pour tout nombre nilpotent n, les deux propriétés suivantes sont équivalentes[10] :

• la classe de nilpotence de tout groupe d'ordre n est au plus c ;
• n est « sans puissances (c + 2)-ièmes » (c'est-à-dire que dans la décomposition en facteurs premiers, tous les exposants sont inférieurs ou égaux à c + 1).

Démonstration

Tout groupe d'ordre n (donc nilpotent) est produit direct de ses sous-groupes de Sylow. Sa classe de nilpotence est donc le maximum des leurs.

Pour tout p premier :

• tout groupe d'ordre d'ordre p^k avec k ≤ c + 1 est de classe de nilpotence au plus c ;
• réciproquement, pour tout k ≥ c + 2, il existe[11] des groupes d'ordre p^k dont la classe de nilpotence est strictement supérieure à c.

Notes et références

1. (de) O. J. Schmidt, « Über Gruppen, deren sämtliche Teiler spezielle Gruppen sind », Recueil Mathématique [Mat. Sbornik], Moscou, vol. 31, 1924, p. 366-372. (Référence donnée par (en) John S. Rose, A Course on Group Theory, CUP, 1978 (lire en ligne), p. 264 et 298.) Original russe en ligne.
2. Pour une démonstration du théorème sous cette forme, voir G. Endimioni, « Une introduction aux groupes nilpotents : Cours de D.E.A. », Centre de Mathématiques et d'Informatique, Université de Provence (France), 1996/1997, p. 17-18.
3. (de) K. Iwasawa, « Ueber die Struktur der endlichen Gruppen, deren echte Untergruppen sämtlich nilpotent sind », Proc. Phys.-Math. Soc. Japan, vol. 23, 1941, p. 1-4. (Référence donnée par Rose 1978, p. 264 et 297.)
4. Endimioni 1996/1997, Lemme 4.2. Comparer avec le lemme de (en) Joseph Gallian et David Moulton, « When is Z_n the only group of order n? », Elemente der Mathematik, vol. 48, n^o 3,‎ 1993, p. 117-119 (lire en ligne), qui concerne les nombres cycliques.
5. Pour plus de précisions, voir (de) Bertram Huppert (en), Endliche Gruppen, vol. I, Springer, coll. «  Grund. math. Wiss. » (n^o 134), 2013 (1^re éd. 1967) (lire en ligne), p. 281.
6. (en) OEIS  A056867 : suite des nombres nilpotents.
7. (de) Gerhard Pazderski, « Die Ordnungen, zu denen nur Gruppen mit gegebenen Eigenschaften gehören », Arch. Math., vol. 10,‎ 1959, p. 331-343 (DOI 10.1007/BF01240807).
8. (en) Jonathan Pakianathan et Krishnan Shankar, « Nilpotent numbers », Amer. Math. Monthly, vol. 107, n^o 7,‎ 2000, p. 631-634 (JSTOR 2589118, lire en ligne) (caractérisation des nombres résolubles, nilpotents, abéliens ou cycliques).
9. Inspirée de Pakianathan et Shankar 2000.
10. (en) Thomas W. Müller, « An arithmetic theorem related to groups of bounded nilpotency class », Journal of Algebra, vol. 300, n^o 1,‎ 2006, p. 10-15 (MR 2228629, lire en ligne), prétend démontrer directement la caractérisation arithmétique complète des nombres « nilpotents de classe au plus c » et retrouver ainsi celles des nombres nilpotents (pour c = ∞) et des nombres abéliens (pour c = 1). En réalité, sa démonstration repose non seulement, comme celle ci-dessus, sur le théorème de Schmidt et la structure du groupe — dans une version d'ailleurs plus précise (Huppert 2013, p. 281) que celle utilisée ici, mais aussi sur un théorème de Hall concernant le nombre d'automorphismes d'un p-groupe, alors que le 3^e théorème de Sylow nous a suffi.
11. (en) Charles Leedham-Green (en) et Susan McKay, The Structure of Groups of Prime Power Order, OUP, 2002 (lire en ligne), section 3.1.

Liens externes

• (en) « Schmidt-Iwasawa theorem », sur groupprops.subwiki.org
• (en) G. A. Miller (en) et H. C. Moreno, « Non-abelian groups in which every subgroup is abelian », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 4,‎ 1903, p. 398-404 (lire en ligne)