Théorème de Lindemann-Weierstrass

En mathématiques, le théorème de Lindemann-Weierstrass établit que si des nombres algébriques α₁, … , α_n sont linéairement indépendants sur le corps Q des nombres rationnels, alors leurs exponentielles e^α1, … , e^αn sont algébriquement indépendantes sur Q. En d'autres termes, l'extension Q(e^α1, … , e^αn) de Q est transcendante de degré n.

Une formulation équivalente du théorème est la suivante[1] : si α₀, … , α_n sont des nombres algébriques distincts alors e^α0, … , e^αn sont linéairement indépendants sur le corps Q des nombres algébriques, c'est-à-dire : ${\displaystyle a_{0}{\rm {e}}^{\alpha _{0}}+a_{1}{\rm {e}}^{\alpha _{1}}+\ldots +a_{n}{\rm {e}}^{\alpha _{n}}\neq 0}$ pour tous nombres algébriques a_i non tous nuls.

En 1882, ce théorème fut annoncé par Ferdinand von Lindemann à la fin de son article sur le cas particulier n = 1, et fut aussitôt démontré par Karl Weierstrass, qui diffusa son manuscrit mais différa jusqu'en 1885 sa publication[2],[3].

Le cas n = 1

En 1882, Lindemann avait esquissé[2] la preuve du fait que pour tout nombre algébrique a non nul, le nombre e^a est transcendant (ce qui redémontrait que e est transcendant et prouvait que π l'est aussi). C'est le cas n = 1 du théorème démontré par Weierstrass.

En effet (avec la première formulation),

• a est non nul équivaut à : l'ensemble {a} est linéairement libre sur Q, et
• e^a est transcendant équivaut à : l'ensemble {e^a} est algébriquement libre sur Q

En utilisant la seconde formulation, on peut le réécrire :

• a est non nul équivaut à : 0 et a sont distincts, et
• e^a est transcendant équivaut à : e^0 et e^a sont linéairement indépendants sur Q.

Conjecture p-adique

L'analogue p-adique du théorème de Lindemann-Weierstrass est la conjecture suivante : « soient [p un nombre premier et] β₁, … , β_n des nombres p-adiques algébriques [Q-linéairement indépendants et] appartenant au domaine de convergence de l'exponentielle p-adique exp_p. Alors les n nombres exp_p(β₁), … , exp_p(β_n) sont algébriquement indépendants sur Q[4]. »

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lindemann–Weierstrass theorem » (voir la liste des auteurs).

1. (en) Alan Baker, Transcendental Number Theory, Cambridge University Press, 1990 (1^re éd. 1975) (ISBN 9780521397919, lire en ligne), chap. 1, Theorem 1.4.
2. (en) David E. Rowe, « Historical events in the background of Hilbert's seventh Paris problem », dans David E. Rowe et Wann-Sheng Horng, A Delicate Balance: Global Perspectives on Innovation and Tradition in the History of Mathematics, Birkhäuser, 2015, p. 211-244.
3. (de) K. W. Weierstrass, « Zu Lindemann's Abhandlung: "Über die Ludolph'sche Zahl" », Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., vol. 5,‎ 1885, p. 1067-1085 (DOI 10.1007/978-1-4757-4217-6_23).
4. (en) Michel Waldschmidt, « Open Diophantine Problems », Moscow Mathematical Journal, vol. 4, n^o 1,‎ 2004, p. 245-305 (lire en ligne), Conjecture 3.11.

Voir aussi

Articles connexes

• Conjecture de Schanuel
• Théorème de Baker

Lien externe

(en) « Proof of Lindemann-Weierstrass theorem and that e and π are transcendental » (démonstration tirée de Baker 1990 et détaillée), sur le site PlanetMath.