En théorie des probabilités, le théorème de Donsker établit la convergence en loi d'une marche aléatoire vers un processus stochastique gaussien. Il est parfois appelé le théorème central limite fonctionnel.

Ce théorème est une référence pour la convergence en loi de marches aléatoires renormalisées vers un processus à temps continus. De nombreux théorèmes sont alors dits de « type Donsker ».

Soient ${\displaystyle (U_{n},n\geq 1)}$ une suite iid de variables aléatoires centrées, de carré intégrable et de variance ${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

On interpole la marche aléatoire ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}U_{k}}$ de manière affine par morceaux en considérant le processus ${\displaystyle (X_{n}(t),t\geq 0)}$ défini par

${\displaystyle X_{n}(t)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {n}}}}\left(\sum _{k=1}^{[nt]}U_{k}+(nt-[nt])U_{[nt]+1}\right)}$ pour ${\displaystyle t>0}$ et où [x] désigne la partie entière de x.

Considérons l'espace ${\displaystyle {\mathcal {C}}([0,1])}$ des fonctions à valeurs réelles et continues sur [0,1]. On munit ${\displaystyle {\mathcal {C}}([0,1])}$ de la tribu borélienne ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ et de la norme infini ${\displaystyle ||.||_{\infty }}$ . Ainsi, ${\displaystyle X_{n}}$ est une variable aléatoire à valeurs dans ${\displaystyle ({\mathcal {C}}([0,1]),{\mathcal {B}})}$ .

La suite ${\displaystyle (X_{n},n\geq 1)}$ converge en loi vers un mouvement brownien standard ${\displaystyle B=(B_{t},t\geq 0)}$ quand n tend vers l'infini.

Ici B est vu comme un élément aléatoire de ${\displaystyle ({\mathcal {C}}([0,1]),{\mathcal {B}})}$.

Notons ${\displaystyle X_{n}(t)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {n}}}}\sum _{k=1}^{[nt]}U_{k}+\psi _{n,t}}$

En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on montre que ${\displaystyle \psi _{n,t}}$ converge en probabilité vers 0.

Ainsi par le théorème central limite, ${\displaystyle X_{n}(t){\underset {n\rightarrow \infty }{\stackrel {loi}{\longrightarrow }}}{\sqrt {t}}N}$ (converge en loi) où N est une variable aléatoire de loi normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$.

De manière similaire, on obtient successivement

${\displaystyle (X_{n}(s),X_{n}(t)-X_{n}(s)){\underset {n\rightarrow \infty }{\stackrel {loi}{\longrightarrow }}}(B_{s},B_{t-s})}$

${\displaystyle (X_{n}(s),X_{n}(t)){\underset {n\rightarrow \infty }{\stackrel {loi}{\longrightarrow }}}(B_{s},B_{s}+B_{t-s})}$

${\displaystyle (X_{n}(t_{1}),X_{n}(t_{2}),...,X_{n}(t_{k})){\underset {n\rightarrow \infty }{\stackrel {loi}{\longrightarrow }}}(B_{t_{1}},B_{t_{2}},...,B_{t_{k}})}$

où B est un mouvement brownien standard.

Reste à montrer que la suite ${\displaystyle (X_{n},n\geq 1)}$ est tendue. Pour cela, on montre que

${\displaystyle \lim _{\lambda \rightarrow \infty }{\underset {n\rightarrow \infty }{\lim \sup }}\,\lambda ^{2}\max _{k\leq n}\mathbb {P} \left(\sum _{i=1}^{k}U_{i}\geq \lambda \sigma {\sqrt {n}}\right)=0}$

On démontre d'abord cette convergence pour le cas où les variables ${\displaystyle U_{i}}$ sont normales. Pour généraliser à une loi quelconque, on utilise le théorème central limite et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour affiner les majorations^[1].

Soit ${\displaystyle (X_{i},i\geq 1)}$ une suite iid de variables aléatoires de loi uniforme sur [0,1]. On note F la fonction de répartition commune des variables ${\displaystyle X_{i}}$. ( ${\displaystyle F(t)=\mathbb {P} [X_{i}\leq t]}$ ) On définit la fonction de répartition empirique F_n de l'échantillon X₁,X₂,...,X_n par

${\displaystyle F_{n}(t)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}1\!\!\!1_{X_{i}\leq t}\,,\,t\in [0,1]}$

ainsi que le processus empirique associé W_n par

${\displaystyle W_{n}(t)={\sqrt {n}}(F_{n}(t)-F(t))={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum _{i=1}^{n}(1\!\!\!1_{X_{i}\leq t}-F(t))\,,\,t\in [0,1]}$.

Considérons l'espace ${\displaystyle D([0,1])}$ des fonctions càdlàg (continues à droite et avec limites à gauche) sur [0,1] muni de la topologie de Skorokhod.

• Théorème de Glivenko-Cantelli
• Test de Kolmogorov-Smirnov

• (en) M. D. Donsker, « Justification and extension of Doob's heuristic approach to the Kolmogorov–Smirnov theorems », Annals of Mathematical Statistics, vol. 23,‎ 1952, p. 277-281 (DOI 10.1214/aoms/1177729445)
• (en) Richard M. Dudley (en), Uniform Central Limit Theorems, Cambridge, Cambridge University Press, 1999, 436 p. (ISBN 978-0-521-46102-3, lire en ligne)

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