Théorème de Blichfeldt

En mathématiques, le théorème de Blichfeldt est le théorème suivant, démontré en 1914 par Hans Blichfeldt (de)[1],[2] :

Soit un entier ${\displaystyle k>0}$. Dans toute région de ℝ^n de volume strictement supérieur à ${\displaystyle k}$, et dans tout compact de volume ${\displaystyle k}$, il existe ${\displaystyle k+1}$ points distincts dont les différences sont à coordonnées entières.

Ou, ce qui est équivalent :

Soit ${\displaystyle \Lambda }$ un réseau de ℝ^n de covolume ${\displaystyle V}$. Dans toute région de ℝ^n de volume strictement supérieur à ${\displaystyle kV}$, et dans tout compact de volume ${\displaystyle kV}$, il existe ${\displaystyle k+1}$ points distincts dont les différences appartiennent à ${\displaystyle \Lambda }$[3].

Une grande partie de la géométrie des nombres en résulte[4], à commencer par le théorème de Minkowski, que le cas ${\displaystyle k=1}$ suffit à redémontrer très rapidement[5].

Démonstrations

Considérons d'abord une « région » ${\displaystyle M}$ de ℝ^n (à prendre ici au sens : partie Lebesgue-mesurable), de « volume » (au sens de la mesure de Lebesgue) ${\displaystyle \lambda _{n}(M)>k}$.

Les deux premières des trois démonstrations ci-dessous s'appuient sur le lemme suivant (qui, pour ${\displaystyle k=1}$, est immédiat) :

Principe des tiroirs pour les mesures[6]. — Soient ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ un espace mesuré et ${\displaystyle (N_{\alpha })}$ une famille au plus dénombrable de parties mesurables de ${\displaystyle X}$.

Si ${\displaystyle \sum _{\alpha }\mu (N_{\alpha })>k\,\mu (\cup _{\alpha }N_{\alpha })}$ alors il existe un point de ${\displaystyle X}$ appartenant à au moins ${\displaystyle k+1}$ de ces parties.

La preuve en est simple : en notant ${\displaystyle \mathbb {1} _{N}}$ l'indicatrice de toute partie ${\displaystyle N}$ de ${\displaystyle X}$, on a ${\displaystyle \int _{\cup _{\beta }N_{\beta }}\sum _{\alpha }\mathbb {1} _{N_{\alpha }}\ \mathrm {d} \mu >\int _{\cup _{\beta }N_{\beta }}k\ \mathrm {d} \mu }$ donc la fonction ${\displaystyle \sum _{\alpha }\mathbb {1} _{N_{\alpha }}}$ est strictement supérieure à ${\displaystyle k}$ en au moins un point.

• Les translatés du domaine fondamental ${\displaystyle D:=\left[0,1\right[^{n}}$ par les vecteurs à coordonnées entières forment une partition de ℝ^n, donc leurs intersections avec ${\displaystyle M}$ forment une partition de ${\displaystyle M}$. Or la mesure de Lebesgue est invariante par translation. Par conséquent :${\displaystyle \sum _{\alpha \in \mathbb {Z} ^{n}}\lambda _{n}(D\cap (M-\alpha ))=\sum _{\alpha \in \mathbb {Z} ^{n}}\lambda _{n}((D+\alpha )\cap M)=\lambda _{n}(M)>k=k\,\lambda _{n}(D)\geq k\,\lambda _{n}(\cup _{\alpha \in \mathbb {Z} ^{n}}(D\cap (M-\alpha ))}$.D'après le principe des tiroirs, il existe donc au moins un point ${\displaystyle z\in D}$ et ${\displaystyle k+1}$ vecteurs distincts ${\displaystyle \alpha _{0},\dots ,\alpha _{k}\in \mathbb {Z} ^{n}}$ tels que ${\displaystyle z\in M-\alpha _{i}}$. Les ${\displaystyle k+1}$ points ${\displaystyle m_{i}:=z+\alpha _{i}\in M}$ sont alors distincts, et leurs différences ${\displaystyle m_{i}-m_{j}=\alpha _{i}-\alpha _{j}}$ sont bien à coordonnées entières, ce qui termine la première démonstration[3].

Le principe de la deuxième démonstration consiste à placer des translatés de M en chaque point entier d'un pavé, et à comparer le volume de leur réunion et la somme de leurs volumes.

• Supposons, sans perte de généralité, que ${\displaystyle M}$ est borné. On considère un entier m > 0, et à chaque vecteur α à coordonnées entières comprises entre 0 et m, on associe le translaté M + α. Pour δ tel que M soit inclus dans [–δ, δ]^n, tous ces translatés sont inclus dans le pavé [–δ, m + δ]^n, comme illustré sur la figure. Pour m assez grand, on a (m + 1)^nλ_n(M) > k(m + 2δ)^n, c'est-à-dire :${\displaystyle \sum _{\alpha \in \{0,\dots ,m\}^{n}}\lambda _{n}(M+\alpha )>k\,\lambda _{n}(\left[-\delta ,m+\delta \right]^{n})\geq k\,\lambda _{n}\left(\cup _{\alpha \in \{0,\dots ,m\}^{n}}(M+\alpha )\right)}$.On conclut, comme dans la première démonstration, grâce au principe des tiroirs[7].
• Cette troisième démonstration ne s'applique que si ${\displaystyle M}$ est cubable. Pour tout entier ${\displaystyle r>0}$, notons ${\displaystyle N_{r}}$ le nombre de points de ${\displaystyle {\frac {1}{r}}\mathbb {Z} ^{n}}$ appartenant à ${\displaystyle M}$. Ce nombre est équivalent à ${\displaystyle r^{n}\lambda _{n}(M)}$ quand ${\displaystyle r\to \infty }$, donc est strictement supérieur à ${\displaystyle r^{n}k}$ pour ${\displaystyle r}$ suffisamment grand. Or modulo ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$, les éléments de ${\displaystyle {\frac {1}{r}}\mathbb {Z} ^{n}}$ ne forment que ${\displaystyle r^{n}}$ classes. L'une d'entre elles contient donc au moins ${\displaystyle k+1}$ des ${\displaystyle N_{r}}$ points considérés, c'est-à-dire qu'il existe ${\displaystyle z\in {\frac {1}{r}}\mathbb {Z} ^{n}}$ tel que ${\displaystyle z+\mathbb {Z} ^{n}}$ contienne ${\displaystyle k+1}$ points distincts ${\displaystyle m_{0}=z+\alpha _{0},\dots ,m_{k}=z+\alpha _{k}}$ de ${\displaystyle M}$. Les différences ${\displaystyle m_{i}-m_{j}=\alpha _{i}-\alpha _{j}}$ sont bien à coordonnées entières, ce qui termine cette troisième démonstration[8].

Considérons maintenant un compact ${\displaystyle M}$ de volume ${\displaystyle k}$. D'après ce qui précède, pour tout entier ${\displaystyle t>0}$, il existe un ${\displaystyle (k+1)}$-uplet ${\displaystyle m_{t}=\left(1+{\frac {1}{t}}\right)p_{t}\in \left(1+{\frac {1}{t}}\right)M^{k+1}}$ tel que pour ${\displaystyle i\neq j}$, ${\displaystyle m_{t,i}-m_{t,j}\in \mathbb {Z} ^{n}\setminus \{0\}}$. La suite ${\displaystyle (p_{t})_{t\in \mathbb {N} ^{*}}}$ (à valeurs dans le compact produit ${\displaystyle M^{k+1}}$) possède une valeur d'adhérence ${\displaystyle p\in M^{k+1}}$, qui est alors aussi valeur d'adhérence de ${\displaystyle (m_{t})_{t\in \mathbb {N} ^{*}}}$. Pour ${\displaystyle i\neq j}$, ${\displaystyle p_{i}-p_{j}}$ appartient donc au fermé ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\setminus \{0\}}$[9].

Notes et références

1. (en) H. F. Blichfeldt, « A new principle in the geometry of numbers, with some applications », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 15,‎ 1914, p. 227-235 (lire en ligne).
2. (en) John W. S. Cassels, An Introduction to the Geometry of Numbers, Springer, 1971 (1^re éd. 1959) (lire en ligne), p. 69.
3. (en) Jesús A. De Loera, Raymond Hemmecke et Matthias Köppe, Algebraic and Geometric Ideas in the Theory of Discrete Optimization, SIAM, 2013 (lire en ligne), p. 41-42.
4. (en) Carl Douglas Olds, Anneli Lax et Giuliana Davidoff, The Geometry of Numbers, MAA, 2000, 174 p. (lire en ligne), chap. 9 (« A new principle in the geometry of numbers »), p. 119 : « The credit for this breakthrough goes to Hans Frederik Blichfeldt, who in 1914 published a theorem from which a great portion of the geometry of numbers follow ».
5. (en) Pascale Gruber et Cornelis Gerrit Lekkerkerker, Geometry of Numbers, Wolters-Noordhoff et North-Holland, 1987, 2^e éd. (1^re éd. 1969, 510 p.), 731 p. (lire en ligne), p. 42-43.
6. (en) Pete L. Clark, « Geometry of numbers with applications to number theory », 2011-2012, Proposition 5.9, p. 30.
7. Le cas ${\displaystyle k=1,n=2}$ du théorème de Blichfeldt est démontré ainsi dans (en) Carl Douglas Olds, Anneli Lax et Giuliana Davidoff, The Geometry of Numbers, MAA, 2000, 174 p. (lire en ligne), p. 69-73.
8. Gruber et Lekkerkerker 1987, p. 48.
9. Cassels 1971, p. 70.