Théorème d'Auslander-Buchsbaum

En algèbre commutative, le théorème d'Auslander-Buchsbaum aussi appelé théorème d'Auslander-Buchsbaum-Serre dit qu'un anneau local régulier est un anneau factoriel.

Historique

L'historique de la preuve est donnée dans la discussion sur Mathoverflow[1] de 2011. La première preuve de ce théorème est de Maurice Auslander et David Buchsbaum et date de 1959[2]. Ils ont montré que les anneaux locaux réguliers de dimension 3 sont des anneaux factoriels, et Masayoshi Nagata avait précédemment montré[3] que cela implique que tous les anneaux locaux réguliers sont factoriels. L'un des lemmes essentiels à la preuve a été démontré par Jean-Pierre Serre[4], et le résultat lui-même est d'abord anonncé par les auteurs en 1959, puis démontré en 1959. Kaplansky[5] partage les contributions comme suit : « The big theorem was proved by Auslander, Buchsbaum and Serre. (The Auslander-Buchsbaum portion was announced in 1956, with full details in 1959; Serre finished the job in 1956.) ».

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Auslander–Buchsbaum theorem » (voir la liste des auteurs).

1. Buchsbaum et Dao 2011.
2. Auslander et Buchsbaum (1959).
3. Nagata (1958).
4. Serre (1956).
5. Kaplansky (1973).

Bibliographie

• Maurice Auslander et David A. Buchsbaum, « Homological dimension in noetherian rings », Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 42,‎ 1956, p. 36–38 (JSTOR 90213, MR 0103906).
• Maurice Auslander et David A. Buchsbaum, « Unique factorization in regular local rings », Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 45, n^o 5,‎ 1959, p. 733–734 (DOI 10.1073/pnas.45.5.733 , JSTOR 90213, MR 0103906).
• Masayoshi Nagata, « A general theory of algebraic geometry over Dedekind domains. II. Separably generated extensions and regular local rings », American Journal of Mathematics, vol. 80, n^o 2,‎ 1958, p. 382–420 (ISSN 0002-9327, DOI 10.2307/2372791, JSTOR 2372791, MR 0094344).
• M. Quentel, « Sur le théorème d'Auslander - Buchsbaum », Publications mathématiques et informatique de Rennes, n^o 4, Exposé no. 17, 9 p.,‎ 1972 (lire en ligne).
• David Buchsbaum, Hailong Dao et al, « Serre's theorem about regularity and homological dimension », Mathoverflow, 12 juillet 2011 et suiv. (consulté le 12 septembre 2021).
• Jean-Pierre Serre, « Sur la dimension homologique des anneaux et des modules noethériens », Proceedings of the international symposium on algebraic number theory (Tokyo & Nikko 1955), Tokyo & Nikko, Science Council of Japan, Tokyo,,‎ 1956, p. 175–189.
• Irving Kaplansky, « Commutative rings », Lecture Notes in Mathematics, Springer, vol. 311 « Conference on Commutative Algebra (Univ. Kansas, Lawrence, Kan., 1972) »,‎ 1973, p. 153–166.