En mathématiques, la tension est un concept de la théorie de la mesure. Intuitivement, une famille de mesures est tendue si elle ne « s'échappe pas vers l'infini ».
Considérons la ligne réelle munie de la topologie borélienne. Soit la mesure de Dirac ayant une unique masse au point x. La famille
n'est pas tendue, puisque les sous-ensembles compacts de sont précisément les ensembles fermés bornés, et ces ensembles ont une masse nulle pour les mesures pour n suffisamment grand.
Cependant, la famille
est tendue, en effet, l'intervalle [0,1] est considéré comme pour tout . En général, une famille de mesures de Dirac sur est tendue si et seulement si la famille de leur support est bornée.
où la mesure sur a pour moyenne et pour variance . Alors la famille est tendue si et seulement si les familles et sont toutes deux bornées.
Tension et convergence
La tension est souvent un critère nécessaire pour démontrer la convergence faible d'une suite de mesures de probabilité, plus particulièrement quand l'espace des mesures est de dimension infinie. Voir :
La tension exponentielle est une généralisation de la tension des mesures qui a des applications pour le principe de grandes déviations. Une famille de lois de probabilité sur un espace topologique séparéX est exponentiellement tendue si, pour tout , il existe un sous-ensemble compact de X tel que