Symbole de Steinberg

En mathématiques, un symbole de Steinberg[1],[2] est une fonction de deux variables qui généralise le symbole de Hilbert et joue un rôle en K-théorie algébrique des corps.

Définition

Un symbole de Steinberg (ou simplement : un symbole) sur un corps F est une application (–, –) de F* × F* dans un groupe abélien G, noté multiplicativement, telle que pour tous a, b, c dans F*,

• (bimultiplicativité) (ab, c) = (a, c)(b, c) et (a, bc) = (a, b)(a, c)
• si a + b = 1, alors (a, b) = 1.

Autrement dit : (–, –) est la composée d'un morphisme à valeurs dans G par le symbole universel, de F* × F* dans le groupe abélien F* ⊗ F* / 〈 a ⊗ (1 – a) | a ≠ 0, 1 〉. D'après un théorème de Matsumoto, ce groupe coïncide avec le deuxième groupe de K-théorie de Milnor, K₂^M(F).

Propriétés

Si (–, –) est un symbole, alors les équations suivantes sont vérifiées (pour tous les éléments pour lesquels elles ont un sens) :

• (a, –a) = 1,
• (b, a) = (a, b)^−1,
• (a, a) = (a, –1) est un élément d'ordre 1 ou 2,
• (a, b) = (a + b, –b/a).

Exemples

• Le symbole de Hilbert sur F, à valeurs dans {±1}, est défini par[3]${\displaystyle (a,b)={\begin{cases}1&{\mbox{ si }}z^{2}=ax^{2}+by^{2}{\mbox{ a une solution non nulle }}(x,y,z)\in F^{3},\\-1&{\mbox{ sinon.}}\end{cases}}}$
• Le symbole de Contou-Carrère (en)[4] est un symbole pour l'anneau des séries formelles de Laurent sur un anneau artinien.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Steinberg symbol » (voir la liste des auteurs).

1. Robert Steinberg, « Générateurs, relations et revêtements de groupes algébriques », dans Colloq. Théorie des Groupes Algébriques, Gauthier-Villars, 1962 (lire en ligne), p. 113-127
2. (en) Robert Steinberg, « Steinberg symbol », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
3. Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique, 1970 [détail des éditions]
4. Carlos Contou-Carrère, « Jacobienne locale, groupe de bivecteurs de Witt universel, et symbole modéré », CRAS, 1^re série, vol. 318, n^o 8,‎ 1994, p. 743-746 (lire en ligne)

Voir aussi

Bibliographie

• (en) P. E. Conner (en) et R. Perlis, A Survey of Trace Forms of Algebraic Number Fields, World Scientific, coll. « Series in Pure Mathematics » (n^o 2), 1984 (ISBN 9971-966-05-0)
• (en) Tsit Yuen Lam, Introduction to Quadratic Forms over Fields, AMS, coll. « GSM » (n^o 67), 2005 (ISBN 978-0-8218-7241-3, lire en ligne), p. 132-142

Article connexe

Groupe de Steinberg (K-théorie)