Symbole de Kronecker (théorie des nombres)

En théorie des nombres, le symbole de Kronecker, écrit comme ${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)}$ ou ${\displaystyle (a|n)}$, est une généralisation du symbole de Jacobi à tous les entiers ${\displaystyle n}$. Il a été introduit par Leopold Kronecker en 1885.

Définition

Soit ${\displaystyle n}$ être un entier non nul, factorisé comme

${\displaystyle n=u\cdot p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{k}^{e_{k}},}$

où ${\displaystyle u}$ est une unité (c'est-à-dire ${\displaystyle u=\pm 1}$), et les ${\displaystyle p_{i}}$ sont premiers. Soit ${\displaystyle a}$ un entier. Le symbole Kronecker ${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)}$ est défini par

${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {a}{u}}\right)\prod _{i=1}^{k}\left({\frac {a}{p_{i}}}\right)^{e_{i}}.}$

Pour ${\displaystyle p_{i}}$ impair, le nombre ${\displaystyle \left({\frac {a}{p_{i}}}\right)}$ est tout simplement le symbole de Legendre habituel. On définit ${\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)}$ par

${\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)={\begin{cases}0&{\mbox{si }}a{\mbox{ est pair,}}\\1&{\mbox{si }}a\equiv \pm 1{\pmod {8}},\\-1&{\mbox{si }}a\equiv \pm 3{\pmod {8}}.\end{cases}}}$

Puisqu'il prolonge le symbole Jacobi, la quantité ${\displaystyle \left({\frac {a}{u}}\right)}$ vaut simplement ${\displaystyle 1}$ lorsque ${\displaystyle u=1}$. Lorsque ${\displaystyle u=-1}$, nous le définissons par

${\displaystyle \left({\frac {a}{-1}}\right)={\begin{cases}-1&{\mbox{si }}a<0,\\1&{\mbox{si }}a\geq 0.\end{cases}}}$

Enfin, nous posons

${\displaystyle \left({\frac {a}{0}}\right)={\begin{cases}1&{\text{si }}a=\pm 1,\\0&{\text{sinon.}}\end{cases}}}$

Ces extensions suffisent à définir le symbole de Kronecker pour toutes les valeurs entières ${\displaystyle a,n}$.

Certains auteurs ne définissent le symbole Kronecker que pour des valeurs plus restreintes ; par exemple, ${\displaystyle a}$ congru à ${\displaystyle 0,1{\bmod {4}}}$ et ${\displaystyle n>0}$.

Table de valeurs

Ce qui suit est un tableau des valeurs du symbole Kronecker ${\displaystyle \left({\frac {k}{n}}\right)}$ avec 1 ≤ n, k ≤ 30.

k n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	1	0	−1	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	−1	0
3	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0
4	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0
5	1	−1	−1	1	0	1	−1	−1	1	0	1	−1	−1	1	0	1	−1	−1	1	0	1	−1	−1	1	0	1	−1	−1	1	0
6	1	0	0	0	1	0	1	0	0	0	1	0	−1	0	0	0	−1	0	−1	0	0	0	−1	0	1	0	0	0	1	0
7	1	1	−1	1	−1	−1	0	1	1	−1	1	−1	−1	0	1	1	−1	1	−1	−1	0	1	1	−1	1	−1	−1	0	1	1
8	1	0	−1	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	−1	0
9	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0
10	1	0	1	0	0	0	−1	0	1	0	−1	0	1	0	0	0	−1	0	−1	0	−1	0	−1	0	0	0	1	0	−1	0
11	1	−1	1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	0	1	−1	1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	0	1	−1	1	1	1	−1	−1	−1
12	1	0	0	0	−1	0	1	0	0	0	−1	0	1	0	0	0	−1	0	1	0	0	0	−1	0	1	0	0	0	−1	0
13	1	−1	1	1	−1	−1	−1	−1	1	1	−1	1	0	1	−1	1	1	−1	−1	−1	−1	1	1	−1	1	0	1	−1	1	1
14	1	0	1	0	1	0	0	0	1	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0	−1	0
15	1	1	0	1	0	0	−1	1	0	0	−1	0	−1	−1	0	1	1	0	1	0	0	−1	1	0	0	−1	0	−1	−1	0
16	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0
17	1	1	−1	1	−1	−1	−1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	1	1	0	1	1	−1	1	−1	−1	−1	1	1	−1	−1	−1	1
18	1	0	0	0	−1	0	1	0	0	0	−1	0	−1	0	0	0	1	0	−1	0	0	0	1	0	1	0	0	0	−1	0
19	1	−1	−1	1	1	1	1	−1	1	−1	1	−1	−1	−1	−1	1	1	−1	0	1	−1	−1	1	1	1	1	−1	1	−1	1
20	1	0	−1	0	0	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	0	0	−1	0	1	0	1	0	−1	0	0	0	−1	0	1	0
21	1	−1	0	1	1	0	0	−1	0	−1	−1	0	−1	0	0	1	1	0	−1	1	0	1	−1	0	1	1	0	0	−1	0
22	1	0	−1	0	−1	0	−1	0	1	0	0	0	1	0	1	0	−1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	−1	0	1	0
23	1	1	1	1	−1	1	−1	1	1	−1	−1	1	1	−1	−1	1	−1	1	−1	−1	−1	−1	0	1	1	1	1	−1	1	−1
24	1	0	0	0	1	0	1	0	0	0	1	0	−1	0	0	0	−1	0	−1	0	0	0	−1	0	1	0	0	0	1	0
25	1	1	1	1	0	1	1	1	1	0	1	1	1	1	0	1	1	1	1	0	1	1	1	1	0	1	1	1	1	0
26	1	0	−1	0	1	0	−1	0	1	0	1	0	0	0	−1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	−1	0	−1	0
27	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0
28	1	0	−1	0	−1	0	0	0	1	0	1	0	−1	0	1	0	−1	0	−1	0	0	0	1	0	1	0	−1	0	1	0
29	1	−1	−1	1	1	1	1	−1	1	−1	−1	−1	1	−1	−1	1	−1	−1	−1	1	−1	1	1	1	1	−1	−1	1	0	1
30	1	0	0	0	0	0	−1	0	0	0	1	0	1	0	0	0	1	0	−1	0	0	0	1	0	0	0	0	0	1	0

Propriétés

Le symbole Kronecker partage plusieurs propriétés avec le symbole de Jacobi, sous certaines restrictions :

• ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)=\pm 1}$ si ${\displaystyle \mathrm {pgcd} (a,n)=1}$, et ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)=0}$ sinon.
• ${\displaystyle \left({\tfrac {ab}{n}}\right)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)\left({\tfrac {b}{n}}\right)}$ sauf si ${\displaystyle n=-1}$, un des ${\displaystyle a,b}$ est nul et l'autre est négatif.
• ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{mn}}\right)=\left({\tfrac {a}{m}}\right)\left({\tfrac {a}{n}}\right)}$ sauf si ${\displaystyle a=-1}$, un des ${\displaystyle m,n}$ est nul et l'autre a une partie impaire (définition ci-dessous) congruente à ${\displaystyle 3{\bmod {4}}}$.
• Pour ${\displaystyle n>0}$, on a ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)=\left({\tfrac {b}{n}}\right)}$ dès que ${\displaystyle a\equiv b{\bmod {\begin{cases}4n,&n\equiv 2{\pmod {4}},\\n&{\text{sinon.}}\end{cases}}}}$ Si de plus ${\displaystyle a,b}$ ont le même signe, il en va de même pour ${\displaystyle n<0}$ .
• Pour ${\displaystyle a\not \equiv 3{\pmod {4}}}$, ${\displaystyle a\neq 0}$, on a ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{m}}\right)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)}$ dès que ${\displaystyle m\equiv n{\bmod {\begin{cases}4|a|,&a\equiv 2{\pmod {4}},\\|a|&{\text{sinon.}}\end{cases}}}}$

À la différence du symbole de Jacobi, le symbole de Kronecker n'a pas le même lien avec les résidus quadratiques. En particulier, le symbole Kronecker ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)}$ pour ${\displaystyle n}$ pair peut prendre des valeurs indépendamment du fait que ${\displaystyle a}$ est un résidu quadratique ou un non-résidu modulo ${\displaystyle n}$.

Réciprocité quadratique

Le symbole de Kronecker satisfait les versions suivantes de la loi de réciprocité quadratique.

Pour tout entier non nul ${\displaystyle n}$, soit ${\displaystyle n'}$ la partie impaire de ${\displaystyle n}$ : ${\displaystyle n=2^{e}n'}$ où ${\displaystyle n'}$ est impair (pour ${\displaystyle n=0}$, nous posons ${\displaystyle 0'=1}$ ). Alors la version symétrique suivante de la réciprocité quadratique est valable pour chaque paire d'entiers ${\displaystyle m,n}$ tel que ${\displaystyle \mathrm {pgcd} (m,n)=1}$ :

${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{m}}\right)=\pm (-1)^{{\frac {m'-1}{2}}{\frac {n'-1}{2}}},}$

où le ${\displaystyle \pm }$ signe est égal à ${\displaystyle +}$ si ${\displaystyle m\geq 0}$ ou ${\displaystyle n\geq 0}$ et est égal à ${\displaystyle -}$ si ${\displaystyle m<0}$ et ${\displaystyle n<0}$.

Il existe également une version équivalente non symétrique de la réciprocité quadratique qui vaut pour chaque paire d'entiers premiers ${\displaystyle m,n}$ entre eux:

${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{|m|}}\right)=(-1)^{{\frac {m'-1}{2}}{\frac {n'-1}{2}}}.}$

Pour tout entier ${\displaystyle n}$ soit ${\displaystyle n^{*}=(-1)^{(n'-1)/2}n}$ . Alors on réécrit l'égalité précédente comme

${\displaystyle \left({\frac {m^{*}}{n}}\right)=\left({\frac {n}{|m|}}\right)}$

pour toute paire d'entiers ${\displaystyle m,n}$ (pas nécessairement premiers entre eux).

Les lois complémentaires se généralisent également au symbole de Kronecker. Ces lois découlent facilement de chaque version de la loi de réciprocité quadratique indiquée ci-dessus.

Pour tout entier ${\displaystyle n}$ on a

${\displaystyle \left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n'-1}{2}}}$

et pour tout entier impair ${\displaystyle n}$ :

${\displaystyle \left({\frac {2}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n^{2}-1}{8}}.}$

Connexion aux caractères Dirichlet

Si ${\displaystyle a\not \equiv 3{\pmod {4}}}$ et ${\displaystyle a\neq 0}$, la fonction ${\displaystyle \chi (n)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)}$ est un caractère de Dirichlet réel de module ${\displaystyle {\begin{cases}4|a|,&a\equiv 2{\pmod {4}},\\|a|,&{\text{sinon.}}\end{cases}}}$ Inversement, tout caractère de Dirichlet réel peut être écrit sous cette forme avec ${\displaystyle a\equiv 0,1{\pmod {4}}}$ (pour ${\displaystyle a\equiv 2{\pmod {4}}}$ c'est ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)=\left({\tfrac {4a}{n}}\right)}$).

En particulier, les caractères primitifs de Dirichlet réels ${\displaystyle \chi }$ sont en bijections avec les corps quadratiques ${\displaystyle F=\mathbb {Q} ({\sqrt {m}})}$, où ${\displaystyle m}$ est un entier sans carré non nul (on peut inclure le cas ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {1}})=\mathbb {Q} }$ pour représenter le caractère principal, même s'il ne s'agit pas d'un corps quadratique proprement dit). Le caractère ${\displaystyle \chi }$ peut être retrouvé à partir du corps comme son symbole d'Artin ${\displaystyle \left({\tfrac {F/\mathbb {Q} }{\cdot }}\right)}$ : c'est-à-dire pour un nombre premier positif ${\displaystyle p}$, la valeur de ${\displaystyle \chi (p)}$ dépend du comportement de l'idéal ${\displaystyle (p)}$ dans l'anneau des entiers ${\displaystyle O_{F}}$ :

${\displaystyle \chi (p)={\begin{cases}0,&{\text{ si}}\ (p){\text{ est ramifié,}}\\1,&{\text{ si}}\ (p){\text{ se scinde,}}\\-1,&{\text{ si}}\ (p){\text{ est inerte.}}\end{cases}}}$

Alors ${\displaystyle \chi (n)}$ est égal au symbole de Kronecker ${\displaystyle \left({\tfrac {D}{n}}\right)}$, où

${\displaystyle D={\begin{cases}m,&m\equiv 1{\pmod {4}},\\4m,&m\equiv 2,3{\pmod {4}}\end{cases}}}$

est le discriminant de ${\displaystyle F}$ . Le conducteur de ${\displaystyle \chi }$ est ${\displaystyle |D|}$.

De même, si ${\displaystyle n>0}$, l'application ${\displaystyle \chi (a)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)}$ est un caractère de Dirichlet réel de module ${\displaystyle {\begin{cases}4n,&n\equiv 2{\pmod {4}},\\n,&{\text{sinon.}}\end{cases}}}$. Cependant, tous les caractères réels ne peuvent pas être représentés de cette manière, par exemple le caractère ${\displaystyle \left({\tfrac {-4}{\cdot }}\right)}$ ne peut pas être écrit comme ${\displaystyle \left({\tfrac {\cdot }{n}}\right)}$ pour toute ${\displaystyle n}$. Par la loi de réciprocité quadratique, on a ${\displaystyle \left({\tfrac {\cdot }{n}}\right)=\left({\tfrac {n^{*}}{\cdot }}\right)}$. Un caractère ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{\cdot }}\right)}$ peut être représenté comme ${\displaystyle \left({\tfrac {\cdot }{n}}\right)}$ si et seulement si sa partie impaire vérifie ${\displaystyle a'\equiv 1{\pmod {4}}}$, auquel cas on peut prendre ${\displaystyle n=|a|}$.

Article connexe

• Symbole de Hilbert

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Kronecker symbol » (voir la liste des auteurs).

•  L. Kronecker, Zur Theorie der elliptischen Funktionen, 1885, 761–784 p. (lire en ligne)
• Hugh L Montgomery et Robert C. Vaughan, Multiplicative number theory. I. Classical theory, vol. 97, Cambridge University Press , coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics », 2007 (ISBN 978-0-521-84903-6, zbMATH 1142.11001)