Formé au Salavat Ioulaïev Oufa[1], il commence sa carrière en junior dans la MHL lors de la saison 2017-2018[2]. Le , il joue son premier match dans la KHL avec le Salavat face au HC Red Star Kunlun. Le , il marque ses deux premiers buts dans la KHL face au HK Vitiaz[3].
Il est choisi au premier tour, en quinzième position, par les Maple Leafs de Toronto lors du repêchage d'entrée dans la LNH 2020[4]. Le , il signe un contrat d'entrée avec les Maple Leafs[5].
En février 2022, les Maple Leafs annoncent qu'Amirov souffre d'une tumeur au cerveau[6]. Il ne joue pas lors de la saison 2022-2023.
Carrière internationale
Il représente la Russie au niveau international. Il prend part aux sélections jeunes.
Le , il marque son premier but en sélection senior face à la Finlande dans un match comptant pour la Coupe Karjala.