On dit qu'un espace de Banach X a la propriété de Banach-Saks si toute suite bornée (xm)m dans X admet une sous-suite (xmn)n qui converge au sens de Cesàro, c'est-à-dire qu'il existe un vecteur xdans X tel que
Beaucoup d'auteurs utilisent pour cette propriété l'abréviation BSP – de l'anglais Banach-Saks property – ou BS.
Tout espace de Banach ayant la propriété de Banach-Saks est réflexif[3],[4] ; la réciproque est fausse[5],[6].
On a donc la suite d'implications (strictes) :
super-réflexivité ⇒ propriété de Banach-Saks ⇒ réflexivité,
si bien que la super-propriété de Banach-Saks équivaut à la super-réflexivité.
Tout espace de Hilbert – ou ce qui revient au même : tout espace de Hilbert séparable – a la propriété de Banach-Saks de même que, plus généralement, les espaces Lp pour 1 < p < +∞, puisqu'ils sont uniformément convexes.
Transfert
Pour tout sous-espaceferméY d'un espace de Banach X, l'espace X a la propriété de Banach-Saks si et seulement si Y et le quotientX/Y l'ont[7].
La propriété de Banach-Saks est conservée par équivalence de norme (contrairement à la convexité uniforme, par exemple).
On dit qu'un espace de Banach X a la p-propriété de Banach-Saks si, pour toute suite bornée (xm)m dans X, il existe une sous-suite (xmn)n, un vecteur xdans X et une constante C > 0 (qui dépendent de la suite) tels que
S'il existe un p > 1 pour lequel X a cette propriété, alors X a la propriété de Banach-Saks ordinaire, car
Dans leur article de 1930, Banach et Saks ont essentiellement démontré que pour 1 < p < ∞, Lp([0, 1]) a la p-propriété.
Propriété de Banach-Saks faible
Puisque la propriété de Banach-Sacks entraîne la réflexivité, il est naturel de chercher sous quelle hypothèse supplémentaire on a la réciproque. Un espace de Banach X a la propriété de Banach-Saks faible ou WBS (ou BSR : propriété de Banach-Saks-Rosenthal[6], du nom de Haskell Paul Rosenthal) si toute suite faiblement convergente dans X admet une sous-suite qui converge au sens de Cesàro. Comme toute suite faiblement convergente est bornée, la propriété de Banach-Saks usuelle entraîne cette variante faible, et comme indiqué plus haut, pour un espace réflexif les deux sont équivalentes. Mais beaucoup d'espaces non réflexifs (donc n'ayant pas la propriété usuelle) ont la propriété faible :
Pour tout espace métriquecompactS, l'espace C(S) a la propriété de Banach-Saks faible si et seulement si l'ensemble dérivé itéré une infinité de fois, S(ω), est vide[9]. Par exemple, C([0, 1]) et ℓ∞ = C(βℕ) n'ont pas cette propriété faible, mais l'espace c = C({0, 1, 1/2, 1/3, … }) des suites convergentes l'a.
Dans c, l'hyperplan fermé c0 des suites de limite nulle l'a aussi. Plus généralement, cette propriété passe aux sous-espaces fermés (mais pas aux quotients).
On définit de même la p-propriété de Banach-Saks faible.
Propriété de Banach-Saks alternée
On dit qu'un espace de Banach X a la propriété de Banach-Saks alternée (ou ABS) si toute suite bornée (xm)m dans X a une sous-suite (xmn)n dont la suite des « moyennes alternées de Cesàro »
converge en norme.
Cette propriété est intermédiaire entre les propriétés de Banach-Saks usuelle et faible[6] et ces implications sont strictes : ℓ1 a la propriété faible (puisqu'il a la propriété de Schur) mais pas l'alternée et c0 a l'alternée[10] mais – comme vu plus haut – pas l'usuelle.
↑(en) Albert Baernstein, « On reflexivity and summability », Studia Mathematica, vol. 42, no 1, , p. 91-94 (lire en ligne)
↑ ab et c(en) Bernard Beauzamy, « Banach Saks properties and spreading models », Math. Scand., vol. 44, , p. 357-384 (lire en ligne)
↑(en) Jesús M. F. Castillo et Manuel González, Three-space Problems in Banach Space Theory, Springer, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (no 1667), , 267 p. (ISBN978-3-540-63344-0, lire en ligne), p. 120, Theorem 4.6.b.
↑W. Szlenk, « Sur les suites faiblement convergentes dans l'espace L », Studia Mathematica, vol. 25, , p. 337-341 (lire en ligne), contredisant le § 5 de Banach et Saks 1930, p. 55-56