Paulin Riva commence le rugby à XV à l'âge de cinq ans, à l'école de rugby du FC Auch. Par la suite, il compte plusieurs sélections nationales grâce à son intégration au Pôle France de Marcoussis. Découvert en 2013 par Thierry Janeczek, il est sélectionné avec l'équipe de France à sept « développement » pour jouer les tournois de Dubaï et de Las Vegas des moins de 17 ans. En 2014, il intègre l'équipe de l'Union Bordeaux Bègles, où il joue en coupe d'Europe (2 titularisations pour 1 essai) et est sacré champion de France avec l'équipe des moins de 20 ans.
En 2016, il est prêté à Soyaux Angoulême XV Charente où il joue quinze matchs, dont dix titularisations. En , il signe un contrat d'un an avec la Fédération française de rugby à sept. Durant la saison 2017-2018, il participe à neuf tournois sur dix, avec une qualification en quart de finale de Cup à Cape Town, puis est sélectionné pour participer à la Coupe du monde de rugby à San Francisco, où ils finissent 8e au classement.
Durant la saison 2018-2019, Paulin Riva participe à sept tournois où il est capitaine de l'équipe aux tournois de Hamilton, Sydney et Las Vegas. Ils finissent 8e au classement général, avec deux médailles d'argent aux tournois de Vancouver et Hong Kong (4 qualifications en quart de finale de Cup).