Ordre moyen d'une fonction arithmétique

En théorie des nombres, un ordre moyen d'une fonction arithmétique f est une fonction «simple» g approchant f en moyenne.

Plus précisément un ordre moyen de f est une fonction g réelle ou complexe, si possible continue et monotone, telle qu'on ait :

${\displaystyle \sum _{n\leqslant N}f(n)\quad {\underset {N\to +\infty }{\sim }}\quad \sum _{n\leqslant N}g(n)}$

Autrement dit, les moyennes arithmétiques ou moyennes de Cesàro de f et g entre 1 et N, ou encore valeurs moyennes de f et g sont asymptotiquement équivalentes. Une telle fonction g n'est bien entendu pas unique.

Il ne faut pas confondre un équivalent asymptotique de la valeur moyenne ${\displaystyle {\frac {1}{N}}{\sum _{n=1}^{N}f(n)}}$ avec un ordre moyen.

Par exemple, pour ${\displaystyle f(n):=n}$, un équivalent asymptotique de la valeur moyenne, égale à ${\displaystyle (N+1)/2}$, est ${\displaystyle N/2}$, mais la fonction ${\displaystyle g(n):=n/2}$ n’est pas un ordre moyen de ${\displaystyle f}$.

Par contre, pour ${\displaystyle f(n):=\ln n}$, un équivalent de la valeur moyenne, égale à ${\displaystyle {\frac {1}{N}}{\sum _{n=1}^{N}f(n)}={\frac {\ln N!}{N}}}$, est ${\displaystyle \ln N}$.

Dans le cas particulier où la limite $${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n\leqslant N}f(n)=c}$$

existe, on dit que ${\displaystyle f}$ possède la valeur moyenne ${\displaystyle c}$. Si de plus ${\displaystyle c\not =0}$, la fonction ${\displaystyle g(n):=c}$ est un ordre moyen de ${\displaystyle f}$.

Exemples

"Courbe" de la somme des diviseurs σ(n), avec l'ordre moyen ${\displaystyle n\pi ^{2}/6}$ en rouge, n+1 correspondant aux nombres premiers en vert, et 2n correspondant aux nombres parfaits en jaune.

• Un ordre moyen du plus grand diviseur impair de n est 2n/3
• Un ordre moyen de d(n)[1], nombre de diviseurs de n, est ln(n)
• Un ordre moyen de σ(n)[2], somme des diviseurs de n, est ${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}n}$
• Un ordre moyen de φ(n)[3], indicatrice d'Euler de n, est ${\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}n}$
• Un ordre moyen de ω(n)[4], nombre de facteurs premiers distincts de n, est ln(ln(n))
• Un ordre moyen de Ω(n)[4], nombre de facteurs premiers de n, est ln(ln(n))
• Un ordre moyen de r(n)[5], nombre de façon d'exprimer n comme somme de deux carrés, est π.
• Le théorème des nombres premiers équivaut au fait que la fonction de von Mangoldt Λ(n) a pour ordre moyen 1[6], et au fait que la fonction de Möbius μ(n) a pour valeur moyenne 0[7].

Meilleur ordre moyen

Cette notion peut être présentée à l'aide de l'exemple du nombre de diviseurs. De la formule de Dirichlet [8] :

${\displaystyle \sum _{n\leqslant N}{\text{d}}(n)=N\ln N+(2\gamma -1)N+o(N)}$

(${\displaystyle \gamma }$ est la constante d'Euler-Mascheroni) et de la formule de Stirling :

${\displaystyle \sum _{n\leqslant N}\ln n=N\ln N-N+o(N),}$

on tire la relation asymptotique

${\displaystyle \sum _{n\leqslant N}({\text{d}}(n)-(\ln n+2\gamma ))=o(N),}$

tandis que

${\displaystyle \sum _{n\leqslant N}({\text{d}}(n)-\ln n)=O(N),}$

ce qui suggère que ln(n) + 2γ est un meilleur choix d'ordre moyen pour d(n) que simplement ln(n) (c'est un cas particulier de développement asymptotique).

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Average order of an arithmetic function » (voir la liste des auteurs).

1. Hardy and Wright, Théorème 319.
2. Hardy and Wright, Théorème 324.
3. (de) Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, « Über die Bestimmung der mittleren Werthe in der Zahlentheorie », Abh. Kön. Preuß. Akad.,‎ 1849, p. 69-83 (lire en ligne) (cette propriété est essentielle dans la démonstration du théorème de Cesàro).
4. Hardy and Wright, Théorème 430.
5. Hardy and Wright, Théorème 339.
6. Hardy and Wright, Théorème 434.
7. Hardy and Wright, Théorème 335.
8. Gérald Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Belin, 2008, chap. 1.3 (« Sur les ordres moyens »)

• (en) G. H. Hardy et E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers (1^re éd. 1938) [détail des éditions], 6ème édition 2008, chapitres XVIII et XXII.
• G. H. Hardy et E.M. Wright (trad. François Sauvageot), Introduction à la théorie des nombres, Vuibert et Springer, 2007
• (en) Gérald Tenenbaum, Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory, AMS, coll. « Graduate Studies in Mathematics » (n^o 163), 2015 (ISBN 9780821898543), p. 43–65

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