Un ensemble ordonné (E, ≤) est dit dense en lui-même, ou plus simplement dense, si, pour tout couple (x, y) d'éléments de E tels que x < y il existe un élément z de E tel que x < z < y.
Un sous-ensembleX d'un ensemble ordonné (E, ≤) est dit dense dans E si, pour tout couple (x, y) d'éléments de E tels que x < y, il existe un élément z de X tel que x < z < y (donc une infinité).
Exemples
La notion d'ensemble ordonné dense en lui-même n'est que le cas particulier où X = E.
Entre deux éléments a < b d'un corps archimédien, il existe toujours un rationnel. Il existe un entier q > 1/(b – a), qui vérifie donc : q > 0 et qb – qa > 1. En choisissant alors pour p le plus petit entier relatif qui majore strictement qa (c'est l'entier 1 + ⌊qa⌋), on obtient : qa < p ≤ qa + 1, d'où qa < p < qb, puis a < p/q < b.
Si un sous-corps propre K ⊊ L est dense alors son complémentaire aussi. Soit α un élément positif de L\K. Par hypothèse, il existe un élément non nul r de K compris entre a/α et b/α. L'élément rα de L\K est alors compris entre a et b.
Dans ce cas, un sous-ensemble X de E qui est dense au sens précédent de la relation d'ordre est bien dense dans E au sens de cette topologie. Cependant, la réciproque est fausse : un ensemble ordonné est toujours dense dans lui-même pour la topologie de l'ordre (comme pour n'importe quelle topologie) sans être nécessairement dense en lui-même pour sa relation d'ordre, comme le montre l'exemple de ℤ pour l'ordre usuel.
Notes et références
↑L'isomorphisme est ici à prendre dans la catégorie des ensembles ordonnés, c'est-à-dire qu'il existe une bijection strictement croissante entre l'ensemble considéré et l'ensemble des rationnels.
↑X. Oudot et M. Allano-Chevalier, Maths MPSI 1re année, Hachette Supérieur, coll. « H Prépa », (lire en ligne), p. 274.