Les premiers termes de la suite croissante des nombres k-hyperparfaits sont 6, 21, 28, 301, 325, 496, ... (suite A034897 de l'OEIS), les valeurs correspondantes de k étant 1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, ... (suite A034898). Les premiers nombres k-hyperparfaits qui ne sont pas parfaits sont 21, 301, 325, 697, 1333, ... (suite A007592).
Table
La table suivante liste les premiers nombres k-hyperparfaits pour certaines valeurs de k, mis en regard avec le numéro de la suite des nombres k-hyperparfaits dans l'Encyclopédie électronique des suites entières :
Si k > 1 est un entier naturelimpair et p = (3k + 1)/2 etq = 3k + 4 sont des nombres premiers, alors p2q est k-hyperparfait ; Judson S. McCranie a conjecturé en 2000 que tous les nombres k-hyperparfaits pour k > 1 impair sont de cette forme, mais l'hypothèse n'a pas encore été démontrée. De plus, si p ≠ q sont des nombres premiers impairs et k un entier tel que k(p + q) = pq – 1, alors pq est k-hyperparfait.
Il est aussi possible de montrer que si k > 0 et p = k + 1 est premier, alors pour tout i > 1 tel que q = pi – p + 1 est premier, n = pi – 1q est k-hyperparfait. La table suivante liste les valeurs connues de k et les valeurs correspondantes de i pour lesquelles n est k-hyperparfait :
(en) Daniel Minoli et Robert Bear, « Hyperperfect Numbers », PME (Pi Mu Epsilon) Journal, Fall, University Oklahoma, , p. 153-157
(en) Daniel Minoli, « Sufficient Forms For Generalized Perfect Numbers », Ann. Fac. Sciences, Univ. Nation. Zaire, Section Mathem., vol. 4, no 2, , p. 277-302
(en) Daniel Minoli, « Structural Issues For Hyperperfect Numbers », Fibonacci Quarterly, vol. 19, no 1, , p. 6-14
(en) Daniel Minoli, « Issues In Non-Linear Hyperperfect Numbers », Math. Comp., vol. 34, no 150, , p. 639-645
(en) Daniel Minoli, « New Results For Hyperperfect Numbers », Abstracts AMS, vol. 1, no 6, , p. 561
